Base ortogonale di U e Base di U-ortogonale

[dgasti]

Buona sera,
è la mia prima richiesta in questo forum, spero di non andare contro alle regole e spero di essere il più chiaro possibile.
Mi sono imbattuto in questo esercizio di algebra lineare:

Esercizio 3. Nello spazio vettoriale euclideo R4, dotato del prodotto scalare usuale, sia U il sottospazio
generato dai vettori u1 = (2; 0;-1;-1), u2 = (1; 1;-2; 2), u3 = (3;-1; 0;-4).
(a) Si determini una base ortogonale di U e una base di U-ortogonale.

Mi trovo in difficoltà in quanto mi sembra che la richiesta a) mi chieda due volte la medesima cosa. In cosa sbaglio?

[Sk_Anonymous]

Si tratta di due cose diverse. In primis occorre stabilire se $u_1,u_2,u_3$ sono o no linearmente indipendenti. In effetti non lo sono in quanto è facile osservare che è $u_3=2u_1-u_2$ ( fai la verifica !) e quindi scegliamo come base di U i vettori $u_1,u_2$ che sono effettivamente l.i. Una base ortogonale di U è costituita da vettori mutuamente ortogonali ed è noto che una base di tal genere la si può ottenere applicando alla base ${u_1,u_2}$ il procedimento di Gram-Schmidt [ che fornisce una base ortonormale, oltre che ortogonale ]. Eseguendo i calcoli, hai la richiesta base ortogonale di U :
${(2,0,-1,-1)^t,(1,3,-5,7)^t}$
[la "t" in alto indica che si tratta di vettori colonna]
Per aver \(\displaystyle U^{\perp} \), che è il sottospazio di U formato da vettori ciascuno perpendicolare A TUTTI i vettori della base di U, indichiamo con $(x,y,z,t)^t$ il generico vettore di U. Deve esssere allora verificato il sistema :
\(\displaystyle \begin{cases}(x,y,z,t) \cdot (2,0,-1,-1)=0\\(x,y,z,t) \cdot (1,1,-2,2)=0\end{cases} \)
[il "." indica il prodotto scalare ordinario]
Ovvero :
\(\displaystyle \begin{cases}2x-z-t=0\\x+y-2z+2t=0\end{cases} \)
Una delle infinite soluzioni di quest'ultimo sistema è :
$<(0,-4,-1,1),(1,3,2,0)>$
e questa è anche una base \(\displaystyle U^{\perp} \)

[dgasti]

Grazie mille, ora è chiarissimo!