Base ortogonale al variare del parametro k

[meteorit1994]

Buongiorno,
Sto cercando di affrontare un esercizio per sostenere l'esame di algebra e geometria e non riesco a rispondere ad alcune domande.Riporto sotto il testo dell'esercizio e spero che qualcuno possa aiutarmi:
In R4



Ho già risolto il punto a e ottengo per k=-1 dimU=2, altrimenti dimU=3. Ho trovato poi due vettori LI che formano una base per U e poi con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt ho ricavato una base ortogonale.
A questo punto non capisco come ottenere una base ortogonale avendo il parametro K.

Ringrazio in anticipo per ogni suggerimento.

[Derio97]

Ricontrolla il punto (a).
Per $k!=-1$ la dimensione di $U_k$ è 1, e una base è data da ${(0,1,0,-1)}$.

[j18eos]

"meteorit1994":[...] Ho trovato poi due vettori LI che formano una base per U e poi con il processo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt ho ricavato una base ortogonale[...]

...sempre che il\la docente non voglia l'applicazione di questo algoritmo

Detto \(\displaystyle\kappa\) il valore\uno dei valori per cui \(\displaystyle U_{\kappa}\) abbia dimensione \(\displaystyle2\), detta \(\displaystyle\{\underline{u}_1,\underline{u}_2\}\) una sua base, basta determinare due vettori LI (normali) di \(\displaystyle\mathbb{R}^4\) soddisfacenti il sistema
\[
\begin{cases}
\underline{u}_1\cdot\underline{v}=0\\
\underline{u}_2\cdot\underline{v}=0\\
\end{cases}.
\]

[meteorit1994]

Ciao a tutti,
mi sono accorta di aver fatto un errore teorico e quindi sbagliavo nel calcolo della dimensione. Ora per il punto a torna tutto.
Passando invece al punto b, ho trovato una base ortogonale ad U nel caso k=-1 ==> quindi dimensione 2.
Invece per k generico, se provo a ricavare un vettore in funzione di k, mi ritrovo con (-3-3k)X1=0 e poi non saprei come proseguire.

Grazie