Base ortogonale
qualcuno mi può spiegare come risolvere questo esercizio?
si consideri $RR^4$ con il prodotto scalare canonico. sia $W = (: ((1),(1),(2),(2))$, $((3),(3),(1),(1)) :)$. si consideri il sottospazio $Z = {z in RR^4 : z bot W} sub RR^4$.
si determini una base di Z;
si provi che $ W nn Z = {0}$.
per prima cosa: qual'è la dimensione di Z? se fosse 2, penso che una base ortogonale a W sia $(: ((2),(2),(-1),(-1))$, $((0),(0),(1),(-1)) :)$ (però non saprei dare una spiegazione rigorosa di ciò..)
per quanto riguarda il secondo punto, dovrò vedere se W e Z sono in somma diretta, applicando quindi Grassman, penso..
si consideri $RR^4$ con il prodotto scalare canonico. sia $W = (: ((1),(1),(2),(2))$, $((3),(3),(1),(1)) :)$. si consideri il sottospazio $Z = {z in RR^4 : z bot W} sub RR^4$.
si determini una base di Z;
si provi che $ W nn Z = {0}$.
per prima cosa: qual'è la dimensione di Z? se fosse 2, penso che una base ortogonale a W sia $(: ((2),(2),(-1),(-1))$, $((0),(0),(1),(-1)) :)$ (però non saprei dare una spiegazione rigorosa di ciò..)
per quanto riguarda il secondo punto, dovrò vedere se W e Z sono in somma diretta, applicando quindi Grassman, penso..
Risposte
completa $W$ ad una base di $RR^4$ e determina una base ortogonale con Gram-Schmidt. Considera i $2$ vettori che non appartengono a $W$, essi saranno una base di $Z$. Inoltre poichè risulta $RR^4=WoplusW^(\bot)$ hai "gratis" l'intersezione vuota
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