Base non contenuta interamente in un Sottospazio Vettoriale
Ragazzi, mi si presenta il seguente esercizio:
In $R^{4}$ si consideri il sottospazio vettoriale:
$W = {(x_1,x_2,x_3,x_4) ∈ R^{4} | x_1 +x_2 −2x_3 = 2x_2 −3x_3 = 0} $
1. Determinare la dimensione e una base ortonormale del complemento ortogonale del sottospazio vettoriale $W$ .
2. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale $P$ di $R^4$ tale che $dim(W∩P) = 1$ e $P$ non sia contenuto interamente in W .
Il primo punto l'ho svolto in pochi minuti in quanto non richiede nessuna particolare abilità.
Il secondo punto invece ho problemi nell'individuare $P$. Ho pensato alla Formula di Grassmann e per essa la $dim(P)$ dovrebbe essere 2 e la $dim(W+P)$ 3. Ma non sono per niente sicuro. A questo si aggiunge che $P$ non deve essere contenuta interamente in $W$.
Come posso ricavare $P$ ?
grazie mille e buona serata!
In $R^{4}$ si consideri il sottospazio vettoriale:
$W = {(x_1,x_2,x_3,x_4) ∈ R^{4} | x_1 +x_2 −2x_3 = 2x_2 −3x_3 = 0} $
1. Determinare la dimensione e una base ortonormale del complemento ortogonale del sottospazio vettoriale $W$ .
2. Determinare la dimensione e una base di un sottospazio vettoriale $P$ di $R^4$ tale che $dim(W∩P) = 1$ e $P$ non sia contenuto interamente in W .
Il primo punto l'ho svolto in pochi minuti in quanto non richiede nessuna particolare abilità.
Il secondo punto invece ho problemi nell'individuare $P$. Ho pensato alla Formula di Grassmann e per essa la $dim(P)$ dovrebbe essere 2 e la $dim(W+P)$ 3. Ma non sono per niente sicuro. A questo si aggiunge che $P$ non deve essere contenuta interamente in $W$.
Come posso ricavare $P$ ?
grazie mille e buona serata!
Risposte
Ciao 
Se ho fatto bene i calcoli $W$ ha dimensione $2$.
Supponiamo che $B = {w_1, w_2}$ sia una base di $W$, cerchiamo un sottospazio di $\mathbb{R^4}$ tale che $dim(W \nn P) = 1$ e $P$ non sia contenuto interamente in $W$, questo cosa significa? Beh:
1)$dim(W \nn P) = 1 \Rightarrow W$ e $P$ hanno un generatore in comune e $dimP < 4$(se fosse $dimP = 4 \Rightarrow P = \mathbb{R^4} \Rightarrow dim(W \nn P) = 2$);
2)$P$ non completamente contenuto in $W \Rightarrow dimP > 1$.
Quindi cerchiamo un sottospazio $P$ di dimensione compresa tra $1$ e $4$(estremi esclusi) che abbia un generatore in comune con $W$. Concludi tu
Se ho fatto bene i calcoli $W$ ha dimensione $2$.
Supponiamo che $B = {w_1, w_2}$ sia una base di $W$, cerchiamo un sottospazio di $\mathbb{R^4}$ tale che $dim(W \nn P) = 1$ e $P$ non sia contenuto interamente in $W$, questo cosa significa? Beh:
1)$dim(W \nn P) = 1 \Rightarrow W$ e $P$ hanno un generatore in comune e $dimP < 4$(se fosse $dimP = 4 \Rightarrow P = \mathbb{R^4} \Rightarrow dim(W \nn P) = 2$);
2)$P$ non completamente contenuto in $W \Rightarrow dimP > 1$.
Quindi cerchiamo un sottospazio $P$ di dimensione compresa tra $1$ e $4$(estremi esclusi) che abbia un generatore in comune con $W$. Concludi tu
Quindi, intuitivamente direi che $dim(P)$ debba essere due.
Posso utilizzare il completamente della base? Cioè scelgo direttamente un vettore della base $W$ dove $W= L ( (1,3,2,0) (0,0,0,1) ) $. Al vettore scelto aggiungo un vettore nuovo che sia linearmente indipendente . Per esempio, $P=L((0,1,0,0) (0,0,0,1))$.
Potrebbe andare ? Anche se la via che ho seguito è un metodo molto intuitivo ?
grazie mille!
Posso utilizzare il completamente della base? Cioè scelgo direttamente un vettore della base $W$ dove $W= L ( (1,3,2,0) (0,0,0,1) ) $. Al vettore scelto aggiungo un vettore nuovo che sia linearmente indipendente . Per esempio, $P=L((0,1,0,0) (0,0,0,1))$.
Potrebbe andare ? Anche se la via che ho seguito è un metodo molto intuitivo ?
grazie mille!
"Dave95":
Quindi, intuitivamente direi che $dim(P)$ debba essere due.
Posso utilizzare il completamente della base? Cioè scelgo direttamente un vettore della base $W$ dove $W= L ( (1,3,2,0) (0,0,0,1) ) $. Al vettore scelto aggiungo un vettore nuovo che sia linearmente indipendente . Per esempio, $P=L((0,1,0,0) (0,0,0,1))$.
Potrebbe andare ? Anche se la via che ho seguito è un metodo molto intuitivo ?
grazie mille!
Sì, ma vedi che la dimensione di $P$ può essere anche $3$, l'importante è che $P$ abbia un solo generatore in comune con $W$.
Comunque il procedimento mi sembra giusto, magari completi la base di $W$ a una di $\mathbb{R^4}$ e poi da questa estrai $2$ o $3$ vettori(dipende dalla scelta della dimensione di $P$) di cui uno, e solo uno, sia in comune con la base di $W$.
Ciao
Ok, perfetto Shocker grazie mille, gentilissimo!
Posso chiederti una cosina velocissima che mi ha destato un dubbio stupido?
In $R^{2,2} $ , date le matrici:
$A=((1,0),(0,1))$ $B=((0,1),(1,0))$
si consideri il sottospazio vettoriale:
$W_1={X=((x_1,x_2),(x_3,x_4) ) ∈R^{2,2}|AX=XB} $
1. trovare una base di $W_1$
Per fare ciò va bene se risolvo il prodotto scalare $ AX= ((x_1,x_2),(x_3,x_4)) ((1,0),(0,1)) $
e per $ XB $ va bene se considero $ (B^t) (X^t)$ in modo tale da poter risolvere il sistema per poi avere
$AX- (B^t) (X^t) =0$ e da qui mi ricavo la base, che ne pensi?
scusa per questa domanda e buona domenica
Posso chiederti una cosina velocissima che mi ha destato un dubbio stupido?
In $R^{2,2} $ , date le matrici:
$A=((1,0),(0,1))$ $B=((0,1),(1,0))$
si consideri il sottospazio vettoriale:
$W_1={X=((x_1,x_2),(x_3,x_4) ) ∈R^{2,2}|AX=XB} $
1. trovare una base di $W_1$
Per fare ciò va bene se risolvo il prodotto scalare $ AX= ((x_1,x_2),(x_3,x_4)) ((1,0),(0,1)) $
e per $ XB $ va bene se considero $ (B^t) (X^t)$ in modo tale da poter risolvere il sistema per poi avere
$AX- (B^t) (X^t) =0$ e da qui mi ricavo la base, che ne pensi?
scusa per questa domanda e buona domenica
Ciao!
Non ho ben capito: l'operazione in questione(parlo di $AX$ e $XB$) è un prodotto scalare? Se sì, com'è definito?
*Se* invece intendevi "Prodotto tra matrici" allora non è vero che $XB = (BX)^{T}$.
Secondo me fai prima sviluppando i prodotti, insomma: $AX = X$ perché $A = I$, mentre $XB = ( (x_2, x_1), (x_4, x_3))$ quindi hai che $X - XB = O \iff ( (x_1 - x_2, x_2 - x_1), (x_3 - x_4, x_4 - x_3) ) = ( (0, 0), (0, 0))$
Non ho ben capito: l'operazione in questione(parlo di $AX$ e $XB$) è un prodotto scalare? Se sì, com'è definito?
*Se* invece intendevi "Prodotto tra matrici" allora non è vero che $XB = (BX)^{T}$.
Secondo me fai prima sviluppando i prodotti, insomma: $AX = X$ perché $A = I$, mentre $XB = ( (x_2, x_1), (x_4, x_3))$ quindi hai che $X - XB = O \iff ( (x_1 - x_2, x_2 - x_1), (x_3 - x_4, x_4 - x_3) ) = ( (0, 0), (0, 0))$
Si scusami intendevo prodotto di matrici, errore mio .
Ok perfetto, quello che intendevo.
Grazie mille shocker! Super gentile.
Ok perfetto, quello che intendevo.
Grazie mille shocker! Super gentile.
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