Base inversa
ciao a tutti allora vi pongo questo quesito "interessante":
sia $E/F$ estensione di campi finita e sia ${e_1,...,e_n}$ una base di $E$ su $F$. Stabilire se ${e_1^{-1},...,e_n^{-1}}$ è ancora base di $E$ su $F$.
io ho pensato a questo esempio sia $E=CC(T)$ e $F=RR(T^2)$ dove $T$ è un elemento trascendente su $RR$ allora una base di $E$ su $F$ è ${1,T}$,
adesso ${1,1/T}$ mi chiedo se è base ciò equivale a dire se esistono $a,b\in F$ tali che $a+b1/T=T$ se e solo se $aT+b=T^2$ ma adesso deve essere $b=0$ e $a=T$ ma $a!inF$... può andare bene secondo voi???
sia $E/F$ estensione di campi finita e sia ${e_1,...,e_n}$ una base di $E$ su $F$. Stabilire se ${e_1^{-1},...,e_n^{-1}}$ è ancora base di $E$ su $F$.
io ho pensato a questo esempio sia $E=CC(T)$ e $F=RR(T^2)$ dove $T$ è un elemento trascendente su $RR$ allora una base di $E$ su $F$ è ${1,T}$,
adesso ${1,1/T}$ mi chiedo se è base ciò equivale a dire se esistono $a,b\in F$ tali che $a+b1/T=T$ se e solo se $aT+b=T^2$ ma adesso deve essere $b=0$ e $a=T$ ma $a!inF$... può andare bene secondo voi???
Risposte
Come fai a generare $i$ solo con $1$ e $T$?
Non può andare $a=0$ e $b=T^2$?
Non può andare $a=0$ e $b=T^2$?
scusa martino ma l estensione $E//F$ a me risulta essere un'estensione di Galois in quanto $E=CC(T)$ è campo di spezzamento del polinomio $x^2-T^2$ che è a coefficienti in $RR(T^2)$ quindi è un'estensione d grado $2$...però adesso che mi fai notare non so propio come genereare $i$ da quella base...
e allora che nn abbia sbagliato il grado dell'estensione???
tu che dici martino????
e allora che nn abbia sbagliato il grado dell'estensione???
tu che dici martino????
No: il campo di spezzamento di $x^2-T^2$ su $RR(T^2)$ è $RR(T)$. Che c'entra $CC$?
si hai ragione ho detto una ca^^^ta.... ma allora come si può dimostrare che $E//F$ è un estensione di Galois^????
Tu sai che un'estensione M/K è di Galois se e solo se M è c.r.c. su K per un polinomio a fattori irriducibili separabili. Ora, $(x^2+1)(x^2-T^2)$ è un polinomio di $RR(T^2)[X]$ a fattori irriducibili separabili, e $CC(T)$ (ottenuto da $RR(T^2)$ aggiungendo $i$ e $T$) è c.r.c. per esso, quindi $(CC(T))/(RR(T^2))$ è di Galois.
ah ecco... ok perfettto grazie mille
martino io pensato questa cosa che però assolutamente non mi torna... allora suppongo per assurdo che ${e_1^{-1},...,e_n^{-1}}$ sia una base di $E$ su $F$ allora $AAv\inE\quadEEa_1,...,a_n\inF\qquadEEb_1,...,b_n\inF$ tali che $v=a_1e_1+...+(a_n)e_n=b_1e_1^{-1}+...+(b_n)e_n^{-1}$ allora si ha che
$a_1e_1-(b_1)e_1^{-1}+...+a_ne_n-(b_n)e_n^{-1}=0$ allora raccogliendo si ha che:
$(a_1-(b_n)e_1^{-2})e_1+...+(a_n-(b_n)e_n^{-2})e_n=0$ e visto che gli $e_i$ sono una base si ha che $AAi\quad(a_i-(b_i)e_i^{-2})=0$ e da cui ricavo che $e_i^{2}=(a_i/b_i)\inF$ ma questo è asurdo perchè in generale nonè vero che $e_i^{2}\inF$; ad esempio considero $QQ(root[3]2)//QQ$ si ha che una base è data da $B={1,root[3]2,root[3]4}$ e si ha che $(root[3]2)^2!inQQ$.... però è anche vero che gli inversi della base $B$ costituiscono ancora una base...
e allora dove sta l'errore nel ragionamento di prima????...
puoi aiutarmi????
grazie
$a_1e_1-(b_1)e_1^{-1}+...+a_ne_n-(b_n)e_n^{-1}=0$ allora raccogliendo si ha che:
$(a_1-(b_n)e_1^{-2})e_1+...+(a_n-(b_n)e_n^{-2})e_n=0$ e visto che gli $e_i$ sono una base si ha che $AAi\quad(a_i-(b_i)e_i^{-2})=0$ e da cui ricavo che $e_i^{2}=(a_i/b_i)\inF$ ma questo è asurdo perchè in generale nonè vero che $e_i^{2}\inF$; ad esempio considero $QQ(root[3]2)//QQ$ si ha che una base è data da $B={1,root[3]2,root[3]4}$ e si ha che $(root[3]2)^2!inQQ$.... però è anche vero che gli inversi della base $B$ costituiscono ancora una base...
e allora dove sta l'errore nel ragionamento di prima????...
puoi aiutarmi????
grazie
"miuemia":
$(a_1-(b_n)e_1^{-2})e_1+...+(a_n-(b_n)e_n^{-2})e_n=0$ e visto che gli $e_i$ sono una base si ha che $AAi\quad(a_i-(b_i)e_i^{-2})=0$
Ma scusa, gli elementi della forma $a_i-b_ie_i^{-2}$ non sono elementi di F in generale (perché non tutti gli $e_i$ appartengono ad F!), quindi non puoi trarre quella conclusione.
ecco dove stva l'errore...e allora se ${e_1,...e_n}$ è base è vero o no che ${e_1^{-1},...,e_n^{-1}}$ è anche base????
Ora non ho tempo di rispondere a dovere, ma nel cercare un controesempio proverei con un'opportuna estensione di $QQ$ di grado 3. Magari più tardi ti faccio sapere qualcosa 
cià.
cià.
ok ciao ciao martino ci penso su anche io
Ok, per le estensioni di $QQ$ di grado 2 e 3 è vero. Provo col grado 4, e se fallisco comincio a pensare di dimostrare che è vero 
per è vero ma non riesco proprio a dimostrarlo nn so cm prenderlo questo problema...spero che la notte porti consiglio
ciao martino allora credo di essere arrivato ad un risultato secondo me è falso e ho trovato (credo) un contro esempio.
cosidero su $QQ$ tale polinomio $f(x)=x^3-3x+1$ tale polinomio è irriducibile su $QQ$ e visto che il siuo discriminante è un quadrato allora il suo grupppo di Galois è isomorfo ad $A_3$ gruppo alterno su $3$ elementi adesso ho questa etensione $Q(alpha_1,alpha_2,alpha_3)//QQ$ dove $alpha_i$ è radice di $f(x)$ adesso mi chiedo se ${1/(alpha_1),1/(alpha_2),1/(alpha_3)}$ è ancora una base.
ovviamente se trovo $a,b,c\inQQ$ non tutti nulli tali che $a/(alpha_1)+b/(alpha_2)+c/(alpha_3)=0$ ho finito poichè sarebbero linearmente indipendenti.
ma adesso il mio polinomio $f$ su $Q(alpha_1,alpha_2,alpha_3)$ si spezza linearmente ed è noto che:
$f(x)=(x-alpha_1)(x-alpha_2)(x-alpha_3)=x^3-(alpha_1+alpha_2+alpha_3)x^2+(alpha_1 alpha_2+alpha_1 alpha_3+alpha_2 alpha_3)x-alpha_1 alpha_2 alpha_3$
ma adesso posto $x=y-beta$ il mio $f(x)$ diventa della forma
$(y-beta)^3-3(y-beta)+1=y^3-3ybeta^2+y(3beta^2-3)+beta^3+3beta+1$
e voglio che il coefficiente del termine di primo grado sia nullo allora ho che $beta=+-1$ per $beta=-1$
si ha $f(y)=y^3+3y^2-3$ che è irr per Eisentein però in questo caso è vero che le radici sono linearmente indipendenti ma i loro inversi no poichè il termine di primo grado è nullo in $f(y)$.
cosidero su $QQ$ tale polinomio $f(x)=x^3-3x+1$ tale polinomio è irriducibile su $QQ$ e visto che il siuo discriminante è un quadrato allora il suo grupppo di Galois è isomorfo ad $A_3$ gruppo alterno su $3$ elementi adesso ho questa etensione $Q(alpha_1,alpha_2,alpha_3)//QQ$ dove $alpha_i$ è radice di $f(x)$ adesso mi chiedo se ${1/(alpha_1),1/(alpha_2),1/(alpha_3)}$ è ancora una base.
ovviamente se trovo $a,b,c\inQQ$ non tutti nulli tali che $a/(alpha_1)+b/(alpha_2)+c/(alpha_3)=0$ ho finito poichè sarebbero linearmente indipendenti.
ma adesso il mio polinomio $f$ su $Q(alpha_1,alpha_2,alpha_3)$ si spezza linearmente ed è noto che:
$f(x)=(x-alpha_1)(x-alpha_2)(x-alpha_3)=x^3-(alpha_1+alpha_2+alpha_3)x^2+(alpha_1 alpha_2+alpha_1 alpha_3+alpha_2 alpha_3)x-alpha_1 alpha_2 alpha_3$
ma adesso posto $x=y-beta$ il mio $f(x)$ diventa della forma
$(y-beta)^3-3(y-beta)+1=y^3-3ybeta^2+y(3beta^2-3)+beta^3+3beta+1$
e voglio che il coefficiente del termine di primo grado sia nullo allora ho che $beta=+-1$ per $beta=-1$
si ha $f(y)=y^3+3y^2-3$ che è irr per Eisentein però in questo caso è vero che le radici sono linearmente indipendenti ma i loro inversi no poichè il termine di primo grado è nullo in $f(y)$.
"miuemia":
si ha $f(y)=y^3+3y^2-3$ che è irr per Eisentein però in questo caso è vero che le radici sono linearmente indipendenti ma i loro inversi no poichè il termine di primo grado è nullo in $f(y)$.
Scusa ma non capisco come fai a dedurre la dipendenza lineare dal fatto che il coefficiente del termine di primo grado di quel polinomio è nullo.
Tra l'altro ogni polinomio di grado 3 ammette una "sostituzione" che lo porta ad un polinomio di grado 3 con coefficiente del termine di grado 1 nullo.
Non credo che quello sia un controesempio, in quanto credo di aver dimostrato che per le estensioni di grado 3 di Q l'"inversa" di ogni base è ancora una base. Ma potrei benissimo sbagliarmi.
la prof mi ha detto di pensare ad un polinomio di terzo grado che ammetta come gruppo di Galois $A_3$ e in modo tale che le sue radici siano in un particoolare modo.... quindi mi ha fatto capire che l'affermazione è falsa...bisogna trovare un contro esempio
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