Base e dimensioni, matrice complessa
Buongiorno a tutti, come mio primo post in questo forum vi chiedo di controllarmi un esercizio di cui non possiedo la soluzione.
Ho appena iniziato a studiare gli spazi vettoriali e penso di fare confusione quando l'esercizio riguarda spazi complessi, pertanto vorrei avere una conferma di non aver scritto stupidaggini. L'esercizio è il seguente:
Data la matrice complessa $A=((1,alpha,2,-i),(-1,alpha,-2-2i,1),(-1,-,2alpha-2i,1),(0,0,2,1)) in CC^(4,4)$ determinare dimensione e una base del nullspace $N(A) sube CC^4$ (insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $AX=O$) al variare del parametro complesso $alpha$.
Procedo riducendo per righe: $((1,alpha,2,-i),(-1,alpha,-2-2i,1),(-1,0,2alpha-2i,1),(0,0,2,1))((.),(R_2+R_1),(R_3+R_1),(.))((1,alpha,2,-i),(0,2alpha,-2i,1-i),(0,alpha,2+2alpha-2i,1-i),(0,0,2,1))((.),(.),(2R_3-R_2),(.))((1,alpha,2,-i),(0,2alpha,-2i,1-i),(0,0,4+4alpha-2i,1-i),(0,0,2,1))((.),(.),(.),(R_4-(1/(1-i))R_3))((1,alpha,2,-i),(0,2alpha,-2i,1-i),(0,0,4+4alpha-2i,1-i),(0,0,(-2-4alpha)/(1-i),0))$
Ora noto che se l'elemento di posto 4,3 è diverso da 0, ovvero se $alpha!=-1/2$ allora $rank(A)=4$ quindi i vettori riga della matrice sono linearmente indipendenti quindi una base è formata dai 4 vettori riga della matrice non ridotta con $alpha=1$ per esempio e di conseguenza la dimensione è 4.
Se invece $alpha=-1/2$ il rango è 3, quindi se procedo a trovare le soluzioni trovo che dipendono da un parametro libero e che quindi in questo caso il numero di vettori di una base e quindi la dimensione è 1.
Ha senso? Grazie in anticipo.
Ho appena iniziato a studiare gli spazi vettoriali e penso di fare confusione quando l'esercizio riguarda spazi complessi, pertanto vorrei avere una conferma di non aver scritto stupidaggini. L'esercizio è il seguente:
Data la matrice complessa $A=((1,alpha,2,-i),(-1,alpha,-2-2i,1),(-1,-,2alpha-2i,1),(0,0,2,1)) in CC^(4,4)$ determinare dimensione e una base del nullspace $N(A) sube CC^4$ (insieme delle soluzioni del sistema lineare omogeneo $AX=O$) al variare del parametro complesso $alpha$.
Procedo riducendo per righe: $((1,alpha,2,-i),(-1,alpha,-2-2i,1),(-1,0,2alpha-2i,1),(0,0,2,1))((.),(R_2+R_1),(R_3+R_1),(.))((1,alpha,2,-i),(0,2alpha,-2i,1-i),(0,alpha,2+2alpha-2i,1-i),(0,0,2,1))((.),(.),(2R_3-R_2),(.))((1,alpha,2,-i),(0,2alpha,-2i,1-i),(0,0,4+4alpha-2i,1-i),(0,0,2,1))((.),(.),(.),(R_4-(1/(1-i))R_3))((1,alpha,2,-i),(0,2alpha,-2i,1-i),(0,0,4+4alpha-2i,1-i),(0,0,(-2-4alpha)/(1-i),0))$
Ora noto che se l'elemento di posto 4,3 è diverso da 0, ovvero se $alpha!=-1/2$ allora $rank(A)=4$ quindi i vettori riga della matrice sono linearmente indipendenti quindi una base è formata dai 4 vettori riga della matrice non ridotta con $alpha=1$ per esempio e di conseguenza la dimensione è 4.
Se invece $alpha=-1/2$ il rango è 3, quindi se procedo a trovare le soluzioni trovo che dipendono da un parametro libero e che quindi in questo caso il numero di vettori di una base e quindi la dimensione è 1.
Ha senso? Grazie in anticipo.
Risposte
la matrice che hai scritto non è a gradini e quindi ti direi che il sistema che hai scritto non è equivalente a quello di partenza.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo