Base e dimensione-Intersezione Spazi Vettoriali
Salve a tutti, vi riporto il mio problema:
Siano \(\displaystyle \mathcal A \) il sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) generato dai vettori:
\(\displaystyle \mathbf{x}_1 = ( 1,1,-1) \) \(\displaystyle \mathbf{x}_2 = ( 2,-1,1) \)
\(\displaystyle \mathcal B \) il sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) generato dai vettori:
\(\displaystyle \mathbf{u}_1 = ( 1,2,-1) \) \(\displaystyle \mathbf{x}_2 = ( -1,-1,2) \)
Chiede di trovare la dimensione e una base di \(\displaystyle \mathcal A\cap \mathcal B \).
Risultato : dim(\(\displaystyle \mathcal A\cap \mathcal B \))=1; \(\displaystyle \mathcal A\cap \mathcal B \)=\(\displaystyle \digamma ((2,3,-3)) \)
Ho provato fare (anche se è sbagliato ) l'intersezione, ma risulta essere uguale al vettore nullo.
Grazie
Siano \(\displaystyle \mathcal A \) il sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) generato dai vettori:
\(\displaystyle \mathbf{x}_1 = ( 1,1,-1) \) \(\displaystyle \mathbf{x}_2 = ( 2,-1,1) \)
\(\displaystyle \mathcal B \) il sottospazio vettoriale di \(\displaystyle \mathbb{R}^3 \) generato dai vettori:
\(\displaystyle \mathbf{u}_1 = ( 1,2,-1) \) \(\displaystyle \mathbf{x}_2 = ( -1,-1,2) \)
Chiede di trovare la dimensione e una base di \(\displaystyle \mathcal A\cap \mathcal B \).
Risultato : dim(\(\displaystyle \mathcal A\cap \mathcal B \))=1; \(\displaystyle \mathcal A\cap \mathcal B \)=\(\displaystyle \digamma ((2,3,-3)) \)
Ho provato fare (anche se è sbagliato ) l'intersezione, ma risulta essere uguale al vettore nullo.
Grazie
Risposte
in rete e anche qui sul forum sono stati postati un'infinità di esercizi di questo tipo! sicuramente può esserti utile questo post.
prova a postare i tuoi calcoli anche se sbagliati che vediamo dove hai sbagliato.
prova a postare i tuoi calcoli anche se sbagliati che vediamo dove hai sbagliato.
Ciao grazie per la risposta, ti propongo il mio metodo "sbagliato" :
Per lo spazio vettoriale \(\displaystyle \mathcal A \) :
\(\displaystyle \alpha x_1 + \beta x_2 = (0,0,0) \),svolgo il sistema risultano essere linearmente indipendenti quindi sono una base per lo spazio vettoriale \(\displaystyle \mathcal A \).
Faccio lo stesso per lo spazio vettoriale \(\displaystyle \mathcal B \), quindi la loro intersezione è uguale al vettore nullo. Pertanto non ci sono vettori che appartengono all'intersezione dei due spazi.
Ciao
Per lo spazio vettoriale \(\displaystyle \mathcal A \) :
\(\displaystyle \alpha x_1 + \beta x_2 = (0,0,0) \),svolgo il sistema risultano essere linearmente indipendenti quindi sono una base per lo spazio vettoriale \(\displaystyle \mathcal A \).
Faccio lo stesso per lo spazio vettoriale \(\displaystyle \mathcal B \), quindi la loro intersezione è uguale al vettore nullo. Pertanto non ci sono vettori che appartengono all'intersezione dei due spazi.
Ciao
Ok partiamo...
giustamente hai trovato che i vettori che generano i due sottospazi in realtà sono delle loro basi. Bene a questo punto allora noi sappiamo che un vettore, per stare nell'intersezione può scriversi come combinazione lineare dei generatori di entrambi i sottospazi. Facciamolo:
$w = a(1,1,-1)+b(2,-1,1)$
$w = c(-1,2,-1)+d(1,-1,2)$.
poichè siamo nell'intersezione i due vettori devono coincidere, a tal proposito eguagliamo le due combinazioni lineari, ottenendo:
$ a(1,1,-1)+b(2,-1,1)= c(-1,2,-1)+d(1,-1,2) $ che possiamo riscrivere portando tutto a primo membro in questo modo:
a questa scrittura matriciale è associato il sistema omogeneo seguente:
risolvi questo come meglio credi. io ho trovato che:
$ { ( a=-4/3d ),( b=5/3 d ),( c=-d ), (d inRR):} $
ora prendiamo la combinazione lineare che descriveva il primo spazio (il primo $w$ in sostanza) e sostituiamo ai coefficienti $a,b$ i valori che abbiamo appena calcolato:
$ w=d(-4/3,-4/3,4/3)+d(10/3,-5/3,5/3)=(2,-3,3)d $
ed ecco risolto l'esercizio: una base dell'intersezione è $\mathcal(B)_(nn )=(2,-3,3)$ e la dimensione, che corrisponde nient'altro che alla cardinalità di una base del sottospazio vettoriale, è 1.
nota anche che gratuitamente abbiamo la dimensione della somma grazie alla formula di Grassmann:
giustamente hai trovato che i vettori che generano i due sottospazi in realtà sono delle loro basi. Bene a questo punto allora noi sappiamo che un vettore, per stare nell'intersezione può scriversi come combinazione lineare dei generatori di entrambi i sottospazi. Facciamolo:
$w = a(1,1,-1)+b(2,-1,1)$
$w = c(-1,2,-1)+d(1,-1,2)$.
poichè siamo nell'intersezione i due vettori devono coincidere, a tal proposito eguagliamo le due combinazioni lineari, ottenendo:
$ a(1,1,-1)+b(2,-1,1)= c(-1,2,-1)+d(1,-1,2) $ che possiamo riscrivere portando tutto a primo membro in questo modo:
$ a(1,1,-1)+b(2,-1,1)-c(-1,2,-1)-d(1,-1,2)=(0,0,0) $
a questa scrittura matriciale è associato il sistema omogeneo seguente:
$ { ( a+2b+c-d=0 ),( a-b-2c+d=0 ),( -a+b+c-2d=0 ):} $
risolvi questo come meglio credi. io ho trovato che:
$ { ( a=-4/3d ),( b=5/3 d ),( c=-d ), (d inRR):} $
ora prendiamo la combinazione lineare che descriveva il primo spazio (il primo $w$ in sostanza) e sostituiamo ai coefficienti $a,b$ i valori che abbiamo appena calcolato:
$ w=d(-4/3,-4/3,4/3)+d(10/3,-5/3,5/3)=(2,-3,3)d $
ed ecco risolto l'esercizio: una base dell'intersezione è $\mathcal(B)_(nn )=(2,-3,3)$ e la dimensione, che corrisponde nient'altro che alla cardinalità di una base del sottospazio vettoriale, è 1.
nota anche che gratuitamente abbiamo la dimensione della somma grazie alla formula di Grassmann:
$ dim(A+B) = dim A + dim B - dim(A nn B) = 2+2-1 = 3 $
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