Base e dimensione di X
Devo calcolare una base e la dimensione di X, con:
$X = {(1, 2, 1, 3),(1, 3, 2, 4),(3, 2, -1, 5)}$
Ora, ho studiato la matrice le cui righe sono questi 3 vettori e risulta rango $2$. Anche studiando il sistema lineare omogeneo, noto che la soluzione nulla non è l'unica soluzione. Come faccio a calcolarne una base e la dimensione?
Perchè io so che una base deve rispettare due proprietà: vettori linearmente indipendenti e insiemi di generatori.
Ma se non sono linearmente indipendenti (o solo alcuni di essi lo sono), come mi comporto?
Vi ringrazio per le future risposte.
$X = {(1, 2, 1, 3),(1, 3, 2, 4),(3, 2, -1, 5)}$
Ora, ho studiato la matrice le cui righe sono questi 3 vettori e risulta rango $2$. Anche studiando il sistema lineare omogeneo, noto che la soluzione nulla non è l'unica soluzione. Come faccio a calcolarne una base e la dimensione?
Perchè io so che una base deve rispettare due proprietà: vettori linearmente indipendenti e insiemi di generatori.
Ma se non sono linearmente indipendenti (o solo alcuni di essi lo sono), come mi comporto?
Vi ringrazio per le future risposte.
Risposte
Vi scrivo come ho fatto, penso di aver risolto ma non sono sicuro..
Il rango mi dice che due di quei 3 vettori sono linearmente indipendenti, e quindi so che la base è di dimensione $2$ e quindi è costituita da $2$ vettori. Ho controllato se sono insiemi di generatori, e mi viene: sono un insieme di generatori se $c = b - a$ e $d = a + b$.
In tal caso, una base di X è $B = {(1, 2, 1, 3),(1, 3, 2, 4)}$.
Il rango mi dice che due di quei 3 vettori sono linearmente indipendenti, e quindi so che la base è di dimensione $2$ e quindi è costituita da $2$ vettori. Ho controllato se sono insiemi di generatori, e mi viene: sono un insieme di generatori se $c = b - a$ e $d = a + b$.
In tal caso, una base di X è $B = {(1, 2, 1, 3),(1, 3, 2, 4)}$.
Prima di tutto:
Si, sono d'accordo. Non ho capito che sistema hai risolto, ma ...e' vero!
Ad ogni modo, una volta che fai un calcolo di ranghi, tanto vale che lo spremi fino in fondo! Vado:
innani tutto, \( X \) cos'e'? Un insieme di \( 3 \) vettori? Forse intendi cercare la fisionomia dello spazio generato da \( X \) --o come diresti tu la chiusura lineare di \( X \); no? Altrimenti, una base di \( X \) non so cosa voglia dire ...
Cioe' ti importa avere informazioni su
\[ \operatorname{span} ( \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 ), \qquad \text{con} \; \mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \ldots \]
E' chiaro che la dimensione dello \( \operatorname{span} \) non e' piu' di \( 3 \) --\( X \) ha cardinalita' tripla: chiaramente tutto \( X \) genera tutto lo spazio (e' tautologico). Ma siccuro vuoi fornire una base devi scegliere dentro \( X \) il giusto sottoinsieme, di modo che sia libero.
Un modo per vedere se \( 3 \) tuple sono libere e' quelle di metterle in una matrice e calcolarne il suo rango. Come dicevi tu, il rango di
\[ \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \mathbf{x}_3 \end{bmatrix} \]
e' pari a \( 2 \).
Ok, ma come l'hai trovato questo risultato? Io farei cosi: da
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \]
puoi estrarre la sottomatrice
\[ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \]
che e' non singolare; cioe' che
Dunque
\[ \alpha \cdot \mathbf{x}_2 + \beta \cdot \mathbf{x}_3 = \mathbf{0} \Leftrightarrow \alpha, \beta = 0_{ \mathbb{K} } \]
Ti accorgi poi che allargandoti a \( \mathbf{x}_1 \) ottieni tutte sottomatrici singolari; quindi
\[ \operatorname{rank} \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \mathbf{x}_3 \end{bmatrix} \equiv 2 \]
Ricapitolando:
\[ \operatorname{span} ( \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 ) \equiv \operatorname{span} ( \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 ) \]
con \( \mathbf{x}_2 \) e \( \mathbf{x}_3 \) linermente indipendenti. Quindi una base della chiusura lineare di \( X \) e'
\[ \mathcal{B} = \{ \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 \}\]
--genera lo spazio, ed e' libera.
Sei d'accordo?
"Mr. Mazzarr":
In tal caso, una base di X è $B = {(1, 2, 1, 3),(1, 3, 2, 4)}$.
Si, sono d'accordo. Non ho capito che sistema hai risolto, ma ...e' vero!
Ad ogni modo, una volta che fai un calcolo di ranghi, tanto vale che lo spremi fino in fondo! Vado:
innani tutto, \( X \) cos'e'? Un insieme di \( 3 \) vettori? Forse intendi cercare la fisionomia dello spazio generato da \( X \) --o come diresti tu la chiusura lineare di \( X \); no? Altrimenti, una base di \( X \) non so cosa voglia dire ...
Cioe' ti importa avere informazioni su
\[ \operatorname{span} ( \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 ), \qquad \text{con} \; \mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}, \ldots \]
E' chiaro che la dimensione dello \( \operatorname{span} \) non e' piu' di \( 3 \) --\( X \) ha cardinalita' tripla: chiaramente tutto \( X \) genera tutto lo spazio (e' tautologico). Ma siccuro vuoi fornire una base devi scegliere dentro \( X \) il giusto sottoinsieme, di modo che sia libero.
Un modo per vedere se \( 3 \) tuple sono libere e' quelle di metterle in una matrice e calcolarne il suo rango. Come dicevi tu, il rango di
\[ \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \mathbf{x}_3 \end{bmatrix} \]
e' pari a \( 2 \).
Ok, ma come l'hai trovato questo risultato? Io farei cosi: da
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \\ 3 & 4 & 5 \end{bmatrix} \]
puoi estrarre la sottomatrice
\[ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \]
che e' non singolare; cioe' che
non sai come si comportano le altre componenti di \( \mathbf{x}_2 \) e di \( \mathbf{x}_3 \), ma di certo \( (\mathbf{x}_2)_1 \) e \( (\mathbf{x}_3)_1 \) non sono multipli --e lo stesso vale per la seconda componente di entrambi.
Dunque
\[ \alpha \cdot \mathbf{x}_2 + \beta \cdot \mathbf{x}_3 = \mathbf{0} \Leftrightarrow \alpha, \beta = 0_{ \mathbb{K} } \]
Ti accorgi poi che allargandoti a \( \mathbf{x}_1 \) ottieni tutte sottomatrici singolari; quindi
\[ \operatorname{rank} \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \mathbf{x}_3 \end{bmatrix} \equiv 2 \]
Ricapitolando:
\[ \operatorname{span} ( \mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 ) \equiv \operatorname{span} ( \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 ) \]
con \( \mathbf{x}_2 \) e \( \mathbf{x}_3 \) linermente indipendenti. Quindi una base della chiusura lineare di \( X \) e'
\[ \mathcal{B} = \{ \mathbf{x}_2, \mathbf{x}_3 \}\]
--genera lo spazio, ed e' libera.
Sei d'accordo?
$X$ era lo spazio delle righe di una matrice, che sono quei 3 vettori.
Ho prima calcolato il rango, poi ho risolto un sistema del genere:
${(x + y + 3z = a),(2x + 3y + 2z = b),(x + 2y - z = c),(3x + 4y + 5z = d):}$
E mi trovo che il sistema ho soluzioni solo se $c = b - a$ e $d = a + b$. Se queste condizioni sono confermate, so che sono insiemi di generatori. Detto ciò e detto che quel rango è $2$ e quindi 2 vettori su 3 sono lin. indipendenti, so che la dimensione è $2$ e che quindi il primo vettore e il secondo (che ho '' usato '' per annullare il terzo) sono i vettori della base.
E sono d'accordo con tutto il tuo post
Ho prima calcolato il rango, poi ho risolto un sistema del genere:
${(x + y + 3z = a),(2x + 3y + 2z = b),(x + 2y - z = c),(3x + 4y + 5z = d):}$
E mi trovo che il sistema ho soluzioni solo se $c = b - a$ e $d = a + b$. Se queste condizioni sono confermate, so che sono insiemi di generatori. Detto ciò e detto che quel rango è $2$ e quindi 2 vettori su 3 sono lin. indipendenti, so che la dimensione è $2$ e che quindi il primo vettore e il secondo (che ho '' usato '' per annullare il terzo) sono i vettori della base.
E sono d'accordo con tutto il tuo post
Calcolare una base dell'insieme delle soluzioni del sistema dato.
L'insieme delle soluzioni è:
$S: {(x, y, z, t) : (z - 4t, 3t - z, z, t)}$
Una base è:
$B = {(1, -1, 1, 0), (-4, 3, 0, 1)}$
Quindi dimensione pari a $2$. Che dite? E' giusto?
L'insieme delle soluzioni è:
$S: {(x, y, z, t) : (z - 4t, 3t - z, z, t)}$
Una base è:
$B = {(1, -1, 1, 0), (-4, 3, 0, 1)}$
Quindi dimensione pari a $2$. Che dite? E' giusto?
Certo.
Ho una applicazione matriciale definita dalla matrice:
$((1, 0, 2),(0, 1, -1),(2, 1, 3))$
Ora, devo calcolare una dimensione ed una base di Kerf, ovvero devo studiare il sistema lineare omogeneo associato $AX = 0$. Mi viene:
${(x + 2z = 0),(y - z = 0),(2x +y + 3z = 0):}$
Studiando il rango della matrice annessa, noto che è $2$ e quindi dovrebbe essere di dimensione $2$. Però sviluppando il resto del sistema:
${(x = - 2z),(y = - z):}$
Quindi un insieme delle soluzioni del genere:
$S : { (x, y, z) : (-2z, -z, z)}$
Mi trovo dimensione $1$ e non $2$! Vi ringrazio per le future risposte.
$((1, 0, 2),(0, 1, -1),(2, 1, 3))$
Ora, devo calcolare una dimensione ed una base di Kerf, ovvero devo studiare il sistema lineare omogeneo associato $AX = 0$. Mi viene:
${(x + 2z = 0),(y - z = 0),(2x +y + 3z = 0):}$
Studiando il rango della matrice annessa, noto che è $2$ e quindi dovrebbe essere di dimensione $2$. Però sviluppando il resto del sistema:
${(x = - 2z),(y = - z):}$
Quindi un insieme delle soluzioni del genere:
$S : { (x, y, z) : (-2z, -z, z)}$
Mi trovo dimensione $1$ e non $2$! Vi ringrazio per le future risposte.
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