Base duale
Salve!!
non riesco a capire come posso trovare una base duale.
Se ho uno spavio vettoriale $R^3$ e una base $B={(1,-1,2),(-1,1,2),(1,0,-1)}$
e devo trovare la base duale di $B$ e scrivere le componenti rispetto a tale base della forma lineare $f(x,y,z)=2x+3y-3z$ non so esattamente come fare.
Per ora ho capito questo:
per definire la base duale di $B$ devo prendere le applicazioni lineari che ottengo considerando il duale di $R^3$
quindi
$e^1:R^3to\R$ definita come $e^1(e_j)=\delta_1_j$
$e^2:R^3to\R$ definita come $e^2(e_j)=\delta_2_j$
$e^3:R^3to\R$ definita come $e^3(e_j)=\delta_3_j$
ora, dalla teoria dovrebbe essere che $e^i(e_j)=\delta_i_j$
e ciò mi da $0 iff i!=j$ e $1 iff i=j$
ma a questo punto non so più che devo fare..
non riesco a capire come posso trovare una base duale.
Se ho uno spavio vettoriale $R^3$ e una base $B={(1,-1,2),(-1,1,2),(1,0,-1)}$
e devo trovare la base duale di $B$ e scrivere le componenti rispetto a tale base della forma lineare $f(x,y,z)=2x+3y-3z$ non so esattamente come fare.
Per ora ho capito questo:
per definire la base duale di $B$ devo prendere le applicazioni lineari che ottengo considerando il duale di $R^3$
quindi
$e^1:R^3to\R$ definita come $e^1(e_j)=\delta_1_j$
$e^2:R^3to\R$ definita come $e^2(e_j)=\delta_2_j$
$e^3:R^3to\R$ definita come $e^3(e_j)=\delta_3_j$
ora, dalla teoria dovrebbe essere che $e^i(e_j)=\delta_i_j$
e ciò mi da $0 iff i!=j$ e $1 iff i=j$
ma a questo punto non so più che devo fare..
Risposte
Ora non ricordo a potresti utilizzare l'isomorfismo canonico tra [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] ed il suo duale per determinare la base duale di [tex]$B$[/tex].
"j18eos":
Ora non ricordo a potresti utilizzare l'isomorfismo canonico tra [tex]$\mathbb{R}^3$[/tex] ed il suo duale per determinare la base duale di [tex]$B$[/tex].
E in che modo? non riesco proprio a ottenerla..
ho provato a seguire un po' il ragionamento che fa il mio docente nella dispensa, ma è un esempio non proprio chiaro, e in cui viene cercata la base duale di una base canonica $B={e_1,e_2,e_3}$ di $R^3$
e calcola ad esempio
$e^1(v)=xe^1(e_1)+ye^1(e_2)+ze^1(e_3)=x$
$e^2(v)=xe^2(e_1)+ye^2(e_2)+ze^2(e_3)=y$
$e^1(v)=xe^3(e_1)+ye^3(e_2)+ze^3(e_3)=z$
ma io non riesco a capire, quando non ho la base canonica come fare.
Perchè se ho la base $B={(1,-1,2),(-1,1,2),(1,0,-1)}$
per trovare le componenti rispetto a un vettore $v=xe_1+ye_2+ze_3$
dovrei fare
$e^1(v)=xe^1(e_1)+ye^1(e_2)+ze^1(e_3)=x-y+2z$
$e^2(v)=xe^2(e_1)+ye^2(e_2)+ze^2(e_3)=-x-y+2z$
$e^1(v)=xe^3(e_1)+ye^3(e_2)+ze^3(e_3)=x-z$
e già a questo punto non so se ha un senso..
è passato un po' di tempo, ma avendo risolto l'esercizio credo sia bene riportarlo, in caso dovesse servire ad altri.
non sono sicura al cento per cento che sia giusto, quindi se qualcuno può confermare, ben venga!!!!
dunque.
siamo in $RR^3$ e ho la mia base $B={e1=(1,-1,2),e2=(-1,1,2),e3=(1,0,-1)}$
devo derminarne la base duale $B'$ e scrivere le componenti rispetto a tale base della forma lineare $f(x,y,z)=2x+3y-3z$
partiamo col determinare la base duale.
io so che ogni elemento della base duale $B'={e^1,e^2,e^3}$ altro non è che un'applicazione da $RR^3to\RR$
e so anche che
$e^1(x,y,z)=e^1(\alphae1+\betae2+\gammae3)$
quindi farò così:
$(x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(-1,1,2)+\gamma(1,0,-1)$
${(x=\alpha-\beta+\gamma),(y=-\alpha+\beta),(z=2\alpha+2\beta-\gamma):}$
che avrà soluzione
${(\alpha=(x-y+z)/4),(\beta=(x+3y+z)/4),(\gamma=x+y):}$
per cui avrò
$e^1(x,y,z)=e^1{[(x-y+z)/4]e1+[(x+3y-z)/4]e2+[x+y]e3}=(x-y+z)/4$
ragionando così ance per $e^2$ ed $e^3$ otterremo
$e^2=(x+3y-z)/4$
$e^3=x+y$
ora, siccome la nostra forma lineare scritta in componenti rispetto alla base duale sarà della forma
$f=f(e1)e^1+f(e2)e^2+f(e3)e^3$
mi basterà calcolare le mie immagini.
e avrò:
$f(e1)=5$
$f(e2)=-5$
$f(e3)=5$
per cui la mia forma lineare rispetto alla base duale sarà
$f(x,y,z)=5x-5y+5z$
non sono sicura di quest'ultimo passaggio, stamane però a lezione mi è parso di capire che funzionasse così.
non sono sicura al cento per cento che sia giusto, quindi se qualcuno può confermare, ben venga!!!!
dunque.
siamo in $RR^3$ e ho la mia base $B={e1=(1,-1,2),e2=(-1,1,2),e3=(1,0,-1)}$
devo derminarne la base duale $B'$ e scrivere le componenti rispetto a tale base della forma lineare $f(x,y,z)=2x+3y-3z$
partiamo col determinare la base duale.
io so che ogni elemento della base duale $B'={e^1,e^2,e^3}$ altro non è che un'applicazione da $RR^3to\RR$
e so anche che
$e^1(x,y,z)=e^1(\alphae1+\betae2+\gammae3)$
quindi farò così:
$(x,y,z)=\alpha(1,-1,2)+\beta(-1,1,2)+\gamma(1,0,-1)$
${(x=\alpha-\beta+\gamma),(y=-\alpha+\beta),(z=2\alpha+2\beta-\gamma):}$
che avrà soluzione
${(\alpha=(x-y+z)/4),(\beta=(x+3y+z)/4),(\gamma=x+y):}$
per cui avrò
$e^1(x,y,z)=e^1{[(x-y+z)/4]e1+[(x+3y-z)/4]e2+[x+y]e3}=(x-y+z)/4$
ragionando così ance per $e^2$ ed $e^3$ otterremo
$e^2=(x+3y-z)/4$
$e^3=x+y$
ora, siccome la nostra forma lineare scritta in componenti rispetto alla base duale sarà della forma
$f=f(e1)e^1+f(e2)e^2+f(e3)e^3$
mi basterà calcolare le mie immagini.
e avrò:
$f(e1)=5$
$f(e2)=-5$
$f(e3)=5$
per cui la mia forma lineare rispetto alla base duale sarà
$f(x,y,z)=5x-5y+5z$
non sono sicura di quest'ultimo passaggio, stamane però a lezione mi è parso di capire che funzionasse così.
non appare la tua soluzione!
"miuemia":
non appare la tua soluzione!
in che senso??
"Tagliafico":
[quote="miuemia"]non appare la tua soluzione!
in che senso??[/quote]
Io sono riuscito a leggerla
E, a parte i conti che non ho controllato, mi sembra che l'esercizio sia stato risolto per bene.
"cirasa":
Io sono riuscito a leggerla
E, a parte i conti che non ho controllato, mi sembra che l'esercizio sia stato risolto per bene.
ok ^^ grazie
(ma te sei quello di yahoo answer???!!!!!) Vi volevo avvertire che ha fatto un errore di calcolo, il risultato è
f(x,y,z)=-7vi*(v) -5v2*(v) +5v3*(v) ciaooooo =)
f(x,y,z)=-7vi*(v) -5v2*(v) +5v3*(v) ciaooooo =)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo