Base di uno spazio vettoriale di polinomi..
oggi mi ritrovavo a pensare al fatto che non so bene come agire in ogni situazione per ricavarmi una base..
per esempio
dato il sottospazio $Z$ dei polinomi di grado non superiore a 3 tale che $p(0)=p(1)$ come faccio a trovarne una base senza sapere altro?
il pllinomio generico del sottospazio $Z$ deve soddisfare quella caratteristica quindi e' del tipo
$(-b-c)x^3+bx^2+cx+d$
insomma la somma dei coefficienti delle x deve essere uguale a 0..
ma come trovo una base?
premetto che tramite la base di $Z$ poi avrei intenzione di ricavarmi il suo supplementare ..
per esempio
dato il sottospazio $Z$ dei polinomi di grado non superiore a 3 tale che $p(0)=p(1)$ come faccio a trovarne una base senza sapere altro?
il pllinomio generico del sottospazio $Z$ deve soddisfare quella caratteristica quindi e' del tipo
$(-b-c)x^3+bx^2+cx+d$
insomma la somma dei coefficienti delle x deve essere uguale a 0..
ma come trovo una base?
premetto che tramite la base di $Z$ poi avrei intenzione di ricavarmi il suo supplementare ..
Risposte
come hai fatto a trovarla cosi in fretta? o_o...insomma come faccio a farmi venire un'idea simile ... 
insomma io avevo verification che I polinomi $x-x^2$ e $x-x^3$ facevano parte di $Z$...ma come fare per capire subito che formano base assieme al termine noto?
Tutti gli esercizi che ho fatto fino ad ora mettevano condizioni semplici per I polinomi e sottospazi ... e quindi trovavo codeste basi intuitivamente .. quando pero' le condizioni si fanno un po' meno visualizzabili non so come agire
insomma io avevo verification che I polinomi $x-x^2$ e $x-x^3$ facevano parte di $Z$...ma come fare per capire subito che formano base assieme al termine noto?
Tutti gli esercizi che ho fatto fino ad ora mettevano condizioni semplici per I polinomi e sottospazi ... e quindi trovavo codeste basi intuitivamente .. quando pero' le condizioni si fanno un po' meno visualizzabili non so come agire
Non avevo proprio pensato a considerare
$a+b+c=0$ come l'equazione di un sottospazio...
grazie per la dritta!
inoltre come base per il supplementare che ne dici del polinomio
$-x+2x^3+2x^2$?
$a+b+c=0$ come l'equazione di un sottospazio...
grazie per la dritta!
inoltre come base per il supplementare che ne dici del polinomio
$-x+2x^3+2x^2$?
lo preferiresti nel senso che non va bene oppure nel senso che e' un po' brutto ?
dunque il sottospazio supplementare è per forza ortogonale?
Io credevo che il supplementare non dovesse essere per forza ortogonale ma a questo punto mi rendo conto di aver ignorato quel teorema in cui avevo dimostrato che il sottospazio ortogonale era in somma diretta con il sottospazio relativo...per cui unendo le due cose ottengo che il supplementare di un qualsiasi sottospazio gli è per forza ortogonale..
Insomma per trovare quel supplementare io ho completato a una base di $R_3[x]$ la base di $Z$, il vettore che usavo per completare a base di $R_3[x]$ era sua volta una base del supplementare..
Questo ragionamento aveva funzionato quando si trattava per esempio di polinomi pari e dispari..quando avevo un sottospazio di polinomi completavo a una base di $R_3[x]$ e i vettori con cui avevo completato a base erano proprio i vettori della base del supplementare..
Per cui in che modo il completamento a base e l'ortogonalità del supplementare sono compatibili? Sono due metodi indipendenti oppure uno è la conseguneza dell'altro?Oppure il completamento a base non si può fare?
Ciò non toglie che evidentemente ho sbagliato a completare a base...
E c'è anche un altro problema..avendo introdotto un prodotto scalare ho reso $R_3[x]$ uno spazio euclideo no?
Considerato che ogni spazio vettoriale può esser reso euclideo..
Io credevo che il supplementare non dovesse essere per forza ortogonale ma a questo punto mi rendo conto di aver ignorato quel teorema in cui avevo dimostrato che il sottospazio ortogonale era in somma diretta con il sottospazio relativo...per cui unendo le due cose ottengo che il supplementare di un qualsiasi sottospazio gli è per forza ortogonale..
Insomma per trovare quel supplementare io ho completato a una base di $R_3[x]$ la base di $Z$, il vettore che usavo per completare a base di $R_3[x]$ era sua volta una base del supplementare..
Questo ragionamento aveva funzionato quando si trattava per esempio di polinomi pari e dispari..quando avevo un sottospazio di polinomi completavo a una base di $R_3[x]$ e i vettori con cui avevo completato a base erano proprio i vettori della base del supplementare..
Per cui in che modo il completamento a base e l'ortogonalità del supplementare sono compatibili? Sono due metodi indipendenti oppure uno è la conseguneza dell'altro?Oppure il completamento a base non si può fare?
Ciò non toglie che evidentemente ho sbagliato a completare a base...
E c'è anche un altro problema..avendo introdotto un prodotto scalare ho reso $R_3[x]$ uno spazio euclideo no?
Considerato che ogni spazio vettoriale può esser reso euclideo..
capisco che sono questioni così dette di lana caprina però l'esercizio così diventa strano a farsi..nel senso che mi sembra che sulla traccia ci fosse scritto IL supplementare..e non UN supplementare, ma può benissimo essere che ho sentito male la traccia mentre la prof. dettava e dunque potrebbe essere benissimo un supplementare qualsiasi..
La cosa mi turba non poco perchè nel momento in cui dovessi trovarmi a fare un esercizio del genere che faccio? Insomma se la traccia dice un supplementare nulla mi vieta di prendere quello ortogonale..il problema però è che se non prendo il supplementare ortogonale svoglere l'esercizio diventa dubbioso e ti spiegherò anche perchè:
Io avevo completato a base con quello strano polinomio..ora non ero sicuro che quel polinomio fosse giusto per cui ho chiesto conferma..cosa che non potrò fare in eterno..
Invece se prendo lo spazio supplementare ortogonale tutto diventa più facile perchè posso trovare una base definita UNIVOCAMENTE e dunque se trovo un polinomio soddisfacente l'ortogonalità allora sono sicuro di aver fatto bene..
Insomma l'esercizo in questione non finiva qua, dopo chiedeva di trovare un endomorfismo di $R_3[x]$ tale che
$Z$ fosse $Imf$ e il/un supplementare di $Z$ fosse il $kerf$
Ora io ho svolto tutto l'esercizo trovando questo endomorfismo prendendo come supplementare quello ortogonale ma prendendo un altro supplementare, per esempio quello rappresentato dal mio brutto polinomio le cose sarebbero cambiate vero?
La cosa mi turba non poco perchè nel momento in cui dovessi trovarmi a fare un esercizio del genere che faccio? Insomma se la traccia dice un supplementare nulla mi vieta di prendere quello ortogonale..il problema però è che se non prendo il supplementare ortogonale svoglere l'esercizio diventa dubbioso e ti spiegherò anche perchè:
Io avevo completato a base con quello strano polinomio..ora non ero sicuro che quel polinomio fosse giusto per cui ho chiesto conferma..cosa che non potrò fare in eterno..
Invece se prendo lo spazio supplementare ortogonale tutto diventa più facile perchè posso trovare una base definita UNIVOCAMENTE e dunque se trovo un polinomio soddisfacente l'ortogonalità allora sono sicuro di aver fatto bene..
Insomma l'esercizo in questione non finiva qua, dopo chiedeva di trovare un endomorfismo di $R_3[x]$ tale che
$Z$ fosse $Imf$ e il/un supplementare di $Z$ fosse il $kerf$
Ora io ho svolto tutto l'esercizo trovando questo endomorfismo prendendo come supplementare quello ortogonale ma prendendo un altro supplementare, per esempio quello rappresentato dal mio brutto polinomio le cose sarebbero cambiate vero?
No, no, non sarebbe difficile completare a base, solo che ci sono più soluzioni possibili dell'esercizio e per questo la cosa mi sembrava dubbiosa..comunque per il chiarimento alla prof. vorrei poterle chiedere delle cose ma purtroppo non si può..ecco non so come spiegarmi ma diciamo che è davvero difficile relazionarsi con lei..e non solo nel senso che è chiusa..comunque proverò a vedere se è disponibile sperando di non esser insultato in malo modo come altri che ci hanno provato..
Il problema è che con certe persone prima di spiegarti una cosa..sempre se te la spiegano, ti elecano i motivi per cui ogni tua affermazione è stupida e di sicuro non degna della loro attenzione..con ciò chiudo OT
Grazie come sempre per gli aiuti che mi dai XD
Il problema è che con certe persone prima di spiegarti una cosa..sempre se te la spiegano, ti elecano i motivi per cui ogni tua affermazione è stupida e di sicuro non degna della loro attenzione..con ciò chiudo OT
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