Base di uno spazio vettoriale dato dalle soluzioni di un sistema omogeneo?

[Datolo]

Ho questa matrice:

$ ( ( 2 , -1 , 2 , 1 , 0 ),( 0 , 1/2 , 0 , 1/2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $

Ho il rango= $2$, quindi ho la dimensione dello spazio vettoriale associato alle soluzioni
L'insieme delle soluzioni è {\(\ {-z-t,-t,z,t} \)}.
Come trovo una base del sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema?
Grazie in anticipo

[feddy]

Hai due parametri liberi. Assenga a uno il valore $0$, all'altro $1$ e poi viceversa. In questo modo ottiene una base.

In questo caso $[-1,0,1,0]^T,[-1,-1,0,1]^T$

[Datolo]

Quindi assegno dei valori arbitrari alle variabili libere?

Si fa così in generale?

[feddy]

se vuoi estrarre una base, sì

[Datolo]

Grazie mille

[feddy]

di nulla

[garnak.olegovitc1]

"Datolo":Ho questa matrice:

$ ( ( 2 , -1 , 2 , 1 , 0 ),( 0 , 1/2 , 0 , 1/2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ) $

Ho il rango= $2$, quindi ho la dimensione dello spazio vettoriale associato alle soluzioni
L'insieme delle soluzioni è {\(\ {-z-t,-t,z,t} \)}.
Come trovo una base del sottospazio vettoriale delle soluzioni del sistema?

chiamiamo il tuo sistema \(\Sigma\) e con \(S(\Sigma)\) l insieme delle soluzioni di \(\Sigma\), tu hai ricavato che \(S(\Sigma)=\{(-z-t,-t,z,t)|z,t \in \Bbb{R}\}\) (se sai come hai ricavato quelle soluzioni dovresti riuscire facilmente nel tuo scopo...). Comunque $$\begin{align*}x \in S(\Sigma) &\leftrightarrow x=(-z-t,-t,z,t) \text{ con } z,t \in \Bbb{R}\\ &\leftrightarrow x=(-z,0,z,0)+(-t,-t,0,t)=z(-1,0,1,0)+t(-1,-1,0,1) \text{ con } z,t \in \Bbb{R} \\ &\leftrightarrow x \in \mathscr{L}(((-1,0,1,0),(-1,-1,0,1))) \end{align*}$$ il sistema di vettori \(((-1,0,1,0),(-1,-1,0,1))\) é libero su \(\Bbb{R}\) ergo, essendo i suo elementi generatori su \(\Bbb{R}\) per \(S(\Sigma)\), anche base su \(\Bbb{R}\) per \(S(\Sigma)\).

Oppure, visto che \(\Sigma\) é omogeneo allora \(S(\Sigma)\) é spazio vettoriale e tu sai a priori che ha dimensione due ergo ti basta prendere un sistema campione di due vettori di \(S(\Sigma)\) che sia libero su \(\Bbb{R}\) e di conseguenza é base..