Base di uno spazio vettoriale
Ciao a tutti,
sto studiando le basi di uno spazio vettoriale e ora sono alle prese con un esercizio che non sono sicuro della corretta esecuzione:
Determinare una base di span C R^3 dei seguenti vettori:
V1=(1,1,0)
V2=(2,0,2)
V3=(3,2,1)
V4=(0,-1,1)
In teoria dei vettori sono una base di span se:
1) sono vettori indipendenti
2) sono generatori
Primo punto:
Prima di tutto ho provato a vedere se sono indipendenti tutti e 4 i vettori con la formula del tipo:
aV1 +bV2 + cV3 +dV4=0
ma non mi risulta, in quanto non mi viene come soluzione tipo a=b=c=d=0
A questo punto provo usando solo 3 vettori ma idem, con 3 vettori non risultano indipendenti.
Ora provo con 2 vettori, per esempio con V1 e V2 e finalmente ho 2 vettori che sono indipendenti.
Ora il secondo punto
(Non ho ben chiara questa parte in particolare)
Pongo un X=(X1,X2,X3) visto che i vettori hanno 3 componenti
adesso: (X1,X2,X3)=(a+2b,a,2b)
da cui: a+2b=X1
a=X2
b=1/2 X3
concluso con questo posso dire che sono anche generatori i 2 vettori V1 e V2?
Mi sembra manchi qualcosa...oppure che sbaglio da qualche parte...
Mi aiutate per cortesia?
Vi ringrazio a tutti
Ciao
Kpr
sto studiando le basi di uno spazio vettoriale e ora sono alle prese con un esercizio che non sono sicuro della corretta esecuzione:
Determinare una base di span C R^3 dei seguenti vettori:
V1=(1,1,0)
V2=(2,0,2)
V3=(3,2,1)
V4=(0,-1,1)
In teoria dei vettori sono una base di span se:
1) sono vettori indipendenti
2) sono generatori
Primo punto:
Prima di tutto ho provato a vedere se sono indipendenti tutti e 4 i vettori con la formula del tipo:
aV1 +bV2 + cV3 +dV4=0
ma non mi risulta, in quanto non mi viene come soluzione tipo a=b=c=d=0
A questo punto provo usando solo 3 vettori ma idem, con 3 vettori non risultano indipendenti.
Ora provo con 2 vettori, per esempio con V1 e V2 e finalmente ho 2 vettori che sono indipendenti.
Ora il secondo punto
(Non ho ben chiara questa parte in particolare)
Pongo un X=(X1,X2,X3) visto che i vettori hanno 3 componenti
adesso: (X1,X2,X3)=(a+2b,a,2b)
da cui: a+2b=X1
a=X2
b=1/2 X3
concluso con questo posso dire che sono anche generatori i 2 vettori V1 e V2?
Mi sembra manchi qualcosa...oppure che sbaglio da qualche parte...
Mi aiutate per cortesia?
Vi ringrazio a tutti
Ciao
Kpr
Risposte
Guarda, un'osservazione al volo: come fanno quattro vettori in $RR^3$ ad essere linearmente indipendenti? $RR^3$ ha dimensione 3. Quindi potevi risparmiarti il primo conto al punto 1), sai a priori che i quattro vettori sono lin. dipendenti. Diversa è la canzone per gruppi di 2 o 3 vettori: lì devi verificare, un metodo è quello che hai usato tu.
Comunque potevi passare direttamente al secondo punto. Conosci il cosiddetto algoritmo degli scarti successivi?
Comunque potevi passare direttamente al secondo punto. Conosci il cosiddetto algoritmo degli scarti successivi?
"dissonance":
Guarda, un'osservazione al volo: come fanno quattro vettori in $RR^3$ ad essere linearmente indipendenti? $RR^3$ ha dimensione 3. Quindi potevi risparmiarti il primo conto al punto 1), sai a priori che i quattro vettori sono lin. dipendenti. Diversa è la canzone per gruppi di 2 o 3 vettori: lì devi verificare, un metodo è quello che hai usato tu.
Comunque potevi passare direttamente al secondo punto. Conosci il cosiddetto algoritmo degli scarti successivi?
No, non lo conosco, sapevo solo di quel metodo che ho applicato..provo a cercare info in rete su questo metodo degli scarti successivi..
Magari mi fai vedere quali sono i passi che devo fare per risolvere questo esercizio, così ho un esempio commentato su cui studiare.
Grazie per la disponibilità
P.S. Ho un esame fra pochi giorni e mi sono accorto che questo esercizio alla fine non lo so fare come si deve..
Un metodo è questo:
- metti a matrice i vettori (un vettore per riga)
- riduci per righe
- alcuni vettori, essendo combinazione degli altri, si annulleranno e andranno tutte le componenti a 0
- se ti rimane un numero di vettori pari alla dimensione dello spazio da generare (nel tuo caso 3) sei a posto. Quei n vettori fanno da base
- se invece ti vanno via più vettori e ti rimangono quindi 1 o 2 vettori i mancanti li prendi dalla base canonica quindi nel tuo caso ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
Provando col tuo mi viene così, salvo errori di calcolo
$((1,1,0),(2,0,2),(3,2,1),(0,-1,1)) rarr$ $((1,1,0),(0,2,-2),(0,1,-1),(0,-1,1)) rarr$ $((1,1,0),(0,2,-2),(0,0,0),(0,0,0))$
Sono andati via il terzo e quarto vettore quindi solo V1 e V2 sono indipendenti fra loro. Per avere $R^3$ però ci vuole un terzo vettore, prendi ad esempio (0, 0, 1) dalla base canonica e la base sarà:
$B = "(" (1, 1, 0), (2, 0, 2), (0, 0, 1) ")"$
- metti a matrice i vettori (un vettore per riga)
- riduci per righe
- alcuni vettori, essendo combinazione degli altri, si annulleranno e andranno tutte le componenti a 0
- se ti rimane un numero di vettori pari alla dimensione dello spazio da generare (nel tuo caso 3) sei a posto. Quei n vettori fanno da base
- se invece ti vanno via più vettori e ti rimangono quindi 1 o 2 vettori i mancanti li prendi dalla base canonica quindi nel tuo caso ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
Provando col tuo mi viene così, salvo errori di calcolo
$((1,1,0),(2,0,2),(3,2,1),(0,-1,1)) rarr$ $((1,1,0),(0,2,-2),(0,1,-1),(0,-1,1)) rarr$ $((1,1,0),(0,2,-2),(0,0,0),(0,0,0))$
Sono andati via il terzo e quarto vettore quindi solo V1 e V2 sono indipendenti fra loro. Per avere $R^3$ però ci vuole un terzo vettore, prendi ad esempio (0, 0, 1) dalla base canonica e la base sarà:
$B = "(" (1, 1, 0), (2, 0, 2), (0, 0, 1) ")"$
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