Base di uno spazio vettoriale:
Ho uno spazio vettoriale di $ U: L(0,2,2,3),(-1,1,0,1),(3,-1,2,0)$ devo trovarmi una base:
Ho preso i vettori e li ho messi come riga di una matrice, ottengo che il rango è2, quindi la dimensione è 2, la mia base sarà formata da due vettori, ora quindi uno tra questi tre è linearmente dipendende e lo posso eliminare. Come faccio a capire quale di questi è? come procedo poi?
Ho preso i vettori e li ho messi come riga di una matrice, ottengo che il rango è2, quindi la dimensione è 2, la mia base sarà formata da due vettori, ora quindi uno tra questi tre è linearmente dipendende e lo posso eliminare. Come faccio a capire quale di questi è? come procedo poi?
Risposte
Ricetta per trovare la base di uno spazio vettoriale:
Prendi i k vettori del sistema di generatori;
Li incolonni per bene formando una matrice A;
Riduci a scala la matrice A, ottenendo la matrice A';
A questo punto, individui i pivot non nulli (fin qui è lo stesso procedimento che usi per trovare il rango);
Adesso formi la base: devi prendere i vettori della matrice A che si trovano in corrispondenza dei pivot non nulli della matrice A'.
Hai la tua base.
Prendi i k vettori del sistema di generatori;
Li incolonni per bene formando una matrice A;
Riduci a scala la matrice A, ottenendo la matrice A';
A questo punto, individui i pivot non nulli (fin qui è lo stesso procedimento che usi per trovare il rango);
Adesso formi la base: devi prendere i vettori della matrice A che si trovano in corrispondenza dei pivot non nulli della matrice A'.
Hai la tua base.
Il problema è che non c'è nel programma la riduzione a scala.. come posso procedere?
E come hai fatto ad ottenere il rango? 
Magari la chiamate "riduzione di Gauss"
Magari la chiamate "riduzione di Gauss"
Nono, il rango lo calcolo con Orlati, come posso fare?
Eh, a questo punto, l'unica cosa che mi viene in mente è trovare, tra tutti i gruppi non ordinati di vettori del sistema di generatori, quello formato da vettori linearmente indipendenti. Quando hai rango 2 ti va bene, però ci deve essere un metodo più veloce.
Da dove posso imparare la riduzione di Gauss? non riesco a capirla in rete.
Guarda, è più semplice di quello che sembra fai molta attenzione ai passaggi effettuati negli esempi qui http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_di_eliminazione_di_Gauss.
Generalmente, quello che viene presentato soprattutto come un metodo per risolvere sistemi lineari, è l'algoritmo che ti permette di ottenere matrici ridotte a scala.
Generalmente, quello che viene presentato soprattutto come un metodo per risolvere sistemi lineari, è l'algoritmo che ti permette di ottenere matrici ridotte a scala.
Ok grazie mille ! volevo chiederti un'ultima cosa, devo trovarmi la base di U intersecato W, dove U e W sono sottospazi vettoriali, mi sono trovato una base di U ed una di W, poi le rispettive rappresentazioni cartesiane, le ho messe a sistema e mi sono ricavato le soluzioni e poi la base, va bene cosi?
sì, va benissimo
Ad esempio ho U= (1,1,1,1),(0,1,1,0),(0,1,0,0), voglio una sua rappresentazione cartesiana, con il metodo della riduzione di Gauss noto che i tre vettori sono la base di U, quindi affinchè il vettore (x,y,z,t) appartiene ad U imposto la matrice con i quattro vettori. Inoltre il rango sappiamo deve essere uguale a 3, quindi il determinante della matrice composta dai 4 vettori deve essere uguale a 0. Applico Laplace, trovo il determinante, lo pongo=0 e trovo una sua rappresentazione, è giusto?
p.s: mi trovo x-y+z+t=0
p.s: mi trovo x-y+z+t=0
Credo di sì, non conoscevo questo metodo, ma sembra molto efficiente.
Però non mi trovo con i risultati del libro e non so perchè....
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