Base di uno spazio di polinomi
Sia : $V=R[X]_(<=4)$ lo spazio vettoriale su R dei polinomi di grado <=4.
Devo trovare una base del sottospazio di V: $W={P in R[X] t.c. P(1-X)=P(X)}$.
Inizialmente ho pensato di imporre semplicemente la condizione $P(0)=P(1)$, da cui ricavavo, con $P=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ generico polinomio di W, che $ a+b+c+d=0$, da cui sapevo calcolare una base. Poi mi sono accorto però che in realtà ho infinite condizioni, nel senso che so anche che $P(1)=P(2),P(2)=P(3)$ ecc., che sono diverse tra loro; quindi volendo avrei le 5 condizioni necessarie per trovare a,b,c,d,e, se esistono. Quindi il mio sottospazio sarebbe composto di solo un polinomio, se esiste. Ma per essere un sottospazio e contenere un solo elemento, quello deve essere l'elemento neutro. E a questo punto concluderei che W è il sottospazio banale, conclusione che mi puzza alquanto. Sapreste darmi una dritta? Ho proprio l'impressione di essere fuori strada!
Devo trovare una base del sottospazio di V: $W={P in R[X] t.c. P(1-X)=P(X)}$.
Inizialmente ho pensato di imporre semplicemente la condizione $P(0)=P(1)$, da cui ricavavo, con $P=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ generico polinomio di W, che $ a+b+c+d=0$, da cui sapevo calcolare una base. Poi mi sono accorto però che in realtà ho infinite condizioni, nel senso che so anche che $P(1)=P(2),P(2)=P(3)$ ecc., che sono diverse tra loro; quindi volendo avrei le 5 condizioni necessarie per trovare a,b,c,d,e, se esistono. Quindi il mio sottospazio sarebbe composto di solo un polinomio, se esiste. Ma per essere un sottospazio e contenere un solo elemento, quello deve essere l'elemento neutro. E a questo punto concluderei che W è il sottospazio banale, conclusione che mi puzza alquanto. Sapreste darmi una dritta? Ho proprio l'impressione di essere fuori strada!
Risposte
Prendi un polinomio $p in RR_4[x]$ e calcolare $p(x)$ e $p(1-x)$ (ti basta sostituire a $x$ $1-x$ e sfruttando il principio di identità dei polinomi dovresti risolvere.
Grazie mille ho risolto!
Altro problema, anche qui vorrei sapere se è una cavolata quella che ho pensato.
Ho due coppie di vettori (i due vettori di ogni coppia sono linearmente indipendenti tra di loro) che generano rispettivamente due sottospazi S e T, e quindi sono una base di S e T,che hanno entrambi dimensione 2. Voglio sapere se S=T.
In pratica devo verificare se il sottospazio generato dai primi due vettori è uguale al sottospazio generato da tutti e quattro, giusto?
Ora mi chiedo, questo è sempre verificato se nella matrice dei coefficienti dei quattro vettori ridotta "a gradini" ho 2 pivot nulli?
Ho concepito quest'idea pensando che se la soluzione del sistema omogeneo è unica, vuol dire che S e T hanno un solo elemento in comune, ma non sono sicuro nemmeno di questo! Mentre se ha infinite soluzioni, ma l'insieme delle soluzioni ha dimensione 1 (quindi 1 solo pivot nullo, anche questo è giusto?) qualcosa mi dice che non basta.
Spero di non aver detto un casino di fesserie, anche se do per scontato che qualcuna l'ho scritta!
Altro problema, anche qui vorrei sapere se è una cavolata quella che ho pensato.
Ho due coppie di vettori (i due vettori di ogni coppia sono linearmente indipendenti tra di loro) che generano rispettivamente due sottospazi S e T, e quindi sono una base di S e T,che hanno entrambi dimensione 2. Voglio sapere se S=T.
In pratica devo verificare se il sottospazio generato dai primi due vettori è uguale al sottospazio generato da tutti e quattro, giusto?
Ora mi chiedo, questo è sempre verificato se nella matrice dei coefficienti dei quattro vettori ridotta "a gradini" ho 2 pivot nulli?
Ho concepito quest'idea pensando che se la soluzione del sistema omogeneo è unica, vuol dire che S e T hanno un solo elemento in comune, ma non sono sicuro nemmeno di questo! Mentre se ha infinite soluzioni, ma l'insieme delle soluzioni ha dimensione 1 (quindi 1 solo pivot nullo, anche questo è giusto?) qualcosa mi dice che non basta.
Spero di non aver detto un casino di fesserie, anche se do per scontato che qualcuna l'ho scritta!
Secondo me puoi far vedere che la seconda coppia di vettori appartiene ad $S$. Avrai trovato due vettori linearmente indipendenti in $S$ che necessariamente sono anche una base.
Sì ma su quello ci sono, ovviamente i primi due vettori sono una base di S e i secondi due una base di T.
Forse mi sono espresso male quando ho detto che "sono una base di S e T", intendevo dire che la prima coppia è una base di S e la seconda una base di T.
Ora il mio problema è sapere se S=T avendo questi quattro vettori.
Quindi, il mio ragionamento ha qualcosa di sensato?
Forse mi sono espresso male quando ho detto che "sono una base di S e T", intendevo dire che la prima coppia è una base di S e la seconda una base di T.
Ora il mio problema è sapere se S=T avendo questi quattro vettori.
Quindi, il mio ragionamento ha qualcosa di sensato?
Forse sono io che non mi sono spiegato.
Sia ${v_1,v_2}$ base di $S$ e ${u_1,u_2}$ base di $T$.
Se provi che $u_1,u_2 in S$ hai provato la tua uguaglianza. In quanto saranno linearmente indipendenti, genereranno uno spazio di dimensione $2$ che non potrà che essere $S$
Sia ${v_1,v_2}$ base di $S$ e ${u_1,u_2}$ base di $T$.
Se provi che $u_1,u_2 in S$ hai provato la tua uguaglianza. In quanto saranno linearmente indipendenti, genereranno uno spazio di dimensione $2$ che non potrà che essere $S$
Ah ok, ora ho capito cosa intendevi. In ogni caso anche questo mi era già chiaro! Volevo sapere semplicemente se il mio ragionamento ha senso, o se non è qualcosa di generale, ma una semplice cavolata che capita una volta che sia giusta!
Perchè il modo "sicuro" con cui risolverei il problema seguendo anche quanto mi hai detto, è semplicemente controllare se $u_1,u_2,v_1 $ sono linearmente dipendenti e se $u_1,u_2,v_2$ sono linearmente dipendenti. Se i vettori di una di queste due terne fossero linearmente indipendenti, ovviamente T è diverso da S.
Perchè il modo "sicuro" con cui risolverei il problema seguendo anche quanto mi hai detto, è semplicemente controllare se $u_1,u_2,v_1 $ sono linearmente dipendenti e se $u_1,u_2,v_2$ sono linearmente dipendenti. Se i vettori di una di queste due terne fossero linearmente indipendenti, ovviamente T è diverso da S.
Secondo me anche il tuo metodo è corretto: se mettendoli in matrice e riducendo a scala vedi che il rango è 2, allora significa che in quell'insieme di vettori ce ne sono solo due linearmente indipendenti, dunque puoi scrivere, ad esempio, [tex]\mathbf{w_1} = \alpha^1\mathbf{v_1} + \alpha^2\mathbf{v_2}[/tex] e [tex]\mathbf{w_2} = \beta^1\mathbf{v_1} + \beta^2\mathbf{v_2}[/tex] e quindi ricondurre ogni vettore di [tex]T[/tex] ad uno di [tex]S[/tex] e vice versa.
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