Base di un'applicazione lineare

[ludwigZero]

Salve.
Ho questo problema:

Sia $R^3$ lo spazio vettoriale numerico e $R_1[t]$ spazio vettoriale.
Data l'applicazione lineare:

$ f: (x,y,z) \in R^3 -> (y+z) t +(x-z) \in R_1[t]$

1) Dato il sottospazio: $W = { (x,y,z) \in R^3 : x+y+z=0 }$ trovare una base
$x=-y-z$

$y(-1,1,0)+z(-1,0,1)$

$B(W)= L{(-1,1,0),(-1,0,1)}$

2) trovare la base di $f(W)$

qui trovo leggermente difficoltà..

qualche suggerimento?

[Pappappero1]

In generale data un'applicazione lineare $f : V \to W$ e' facile dimostrare (prova!!!) che se $v_1 ...v_n$ e' una base di $V$ allora $f(v_1),...,f(v_n)$ e' una base di $W$.

[ludwigZero]

quindi dovrei fare
$f(-1,1,0) = t - 1$
e
$f(-1,0,1) = t - 2$ ?

[ludwigZero]

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[Pappappero1]

direi che va bene

[ludwigZero]

sempre di quella applicazione mi si chiede di trovare Im f e Ker f
e se sia un isomorfismo.

per essere un isomorfismo la dimensione di $E=R^3$ dovrebbe essere uguale a quella di $V=R_1[t]$ giusto?

come faccio a trovare Im f e Ker f ?

$Im f$ potrebbe essere proprio $f(W)$ ?

mentre per il $ker f$ :

$(y+z) t + (x-z) = 0$ (1)

dovrei vedere per quali t fa 0 la (1) ?

consigli al riguardo? xD

[ludwigZero]

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