Base di un'applicazione lineare
Salve.
Ho questo problema:
Sia $R^3$ lo spazio vettoriale numerico e $R_1[t]$ spazio vettoriale.
Data l'applicazione lineare:
$ f: (x,y,z) \in R^3 -> (y+z) t +(x-z) \in R_1[t]$
1) Dato il sottospazio: $W = { (x,y,z) \in R^3 : x+y+z=0 }$ trovare una base
$x=-y-z$
$y(-1,1,0)+z(-1,0,1)$
$B(W)= L{(-1,1,0),(-1,0,1)}$
2) trovare la base di $f(W)$
qui trovo leggermente difficoltà..
qualche suggerimento?
Ho questo problema:
Sia $R^3$ lo spazio vettoriale numerico e $R_1[t]$ spazio vettoriale.
Data l'applicazione lineare:
$ f: (x,y,z) \in R^3 -> (y+z) t +(x-z) \in R_1[t]$
1) Dato il sottospazio: $W = { (x,y,z) \in R^3 : x+y+z=0 }$ trovare una base
$x=-y-z$
$y(-1,1,0)+z(-1,0,1)$
$B(W)= L{(-1,1,0),(-1,0,1)}$
2) trovare la base di $f(W)$
qui trovo leggermente difficoltà..
qualche suggerimento?

Risposte
In generale data un'applicazione lineare $f : V \to W$ e' facile dimostrare (prova!!!) che se $v_1 ...v_n$ e' una base di $V$ allora $f(v_1),...,f(v_n)$ e' una base di $W$.
quindi dovrei fare
$f(-1,1,0) = t - 1$
e
$f(-1,0,1) = t - 2$ ?
$f(-1,1,0) = t - 1$
e
$f(-1,0,1) = t - 2$ ?
up
direi che va bene
sempre di quella applicazione mi si chiede di trovare Im f e Ker f
e se sia un isomorfismo.
per essere un isomorfismo la dimensione di $E=R^3$ dovrebbe essere uguale a quella di $V=R_1[t]$ giusto?
come faccio a trovare Im f e Ker f ?
$Im f$ potrebbe essere proprio $f(W)$ ?
mentre per il $ker f$ :
$(y+z) t + (x-z) = 0$ (1)
dovrei vedere per quali t fa 0 la (1) ?
consigli al riguardo? xD
e se sia un isomorfismo.
per essere un isomorfismo la dimensione di $E=R^3$ dovrebbe essere uguale a quella di $V=R_1[t]$ giusto?
come faccio a trovare Im f e Ker f ?
$Im f$ potrebbe essere proprio $f(W)$ ?
mentre per il $ker f$ :
$(y+z) t + (x-z) = 0$ (1)
dovrei vedere per quali t fa 0 la (1) ?
consigli al riguardo? xD
up