Base di una topologia
stavo risolvendo questo esercizio diviso in piu punti:
1) si verifichi che la collezione B degli intervalli semi-aperti a destra $[a,b)={t in RR: a<=t
3) si mostri se la collezione B' data dagli intervalli $[a,b)$ con $a,b in QQ$ non è una base di $tau$. la collezione B' è una base di una topologia $tau'$? se si,confrontare $tau$ e $tau'$ stabilendo possibili gerarchie.
per il punto 1) ho verificato che l'unione di questi interalli é tutto $RR$ e che l'intersezione di due intervallo é unione di elementi di B quindi è un base
per il punto 2) la topologia $tau$ è più fine di quella euclidea
per il punto 3) B' non é una base per $tau$ perchè l'unione è $QQ$ e non $RR$?
poi penso che sia una base ma come le confronto le due topologie?
grazie mille per chi mi vorrà aiutare
1) si verifichi che la collezione B degli intervalli semi-aperti a destra $[a,b)={t in RR: a<=t
3) si mostri se la collezione B' data dagli intervalli $[a,b)$ con $a,b in QQ$ non è una base di $tau$. la collezione B' è una base di una topologia $tau'$? se si,confrontare $tau$ e $tau'$ stabilendo possibili gerarchie.
per il punto 1) ho verificato che l'unione di questi interalli é tutto $RR$ e che l'intersezione di due intervallo é unione di elementi di B quindi è un base
per il punto 2) la topologia $tau$ è più fine di quella euclidea
per il punto 3) B' non é una base per $tau$ perchè l'unione è $QQ$ e non $RR$?
poi penso che sia una base ma come le confronto le due topologie?
grazie mille per chi mi vorrà aiutare
Risposte
Non è esatto che l'unione degli aperti del punto 3) fa $\QQ$. Se fai l'unione degli aperti della forma $[-n,n)$ ottieni proprio $\RR$. Il problema è leggermente più sottile. Prova a scrivere ad esempio $[\rho,s)$ come unione di aperti del punto 3), con $\rho$ irrazionale.
Per mostrare che è una base puoi procedere esattamente nello stesso modo con cui hai dimostrato che gli aperti del punto 1) sono una base.
Il confronto alla fine dovrebbe essere facile: la base di $\tau'$ è un sottoinsieme della base di $\tau$.
Per mostrare che è una base puoi procedere esattamente nello stesso modo con cui hai dimostrato che gli aperti del punto 1) sono una base.
Il confronto alla fine dovrebbe essere facile: la base di $\tau'$ è un sottoinsieme della base di $\tau$.
scusate stavo riguardando questo esercizio perchè avevo abbandonato la preparazione dell'esame per un pò
qualcuno può cercare di aiutarmi per l'ultimo punto perchè non riesco a capire la differenza tra il primo punto e il terzo
grazie mille
qualcuno può cercare di aiutarmi per l'ultimo punto perchè non riesco a capire la differenza tra il primo punto e il terzo
grazie mille
L'ultimo punto ti chiede di mostrare se la collezione degli intervalli di cui sopra, pero' con estremi razionali, possa costituire una base per la topologia del punto 1, sempre ammesso che possa costituire una base di una topologia sulla retta, cosa che ti chiede di dimostrare, e in caso di risposta affermativa, di confrontare le topologie del punto 1 e del punto 3.Per le risposte: vedi sopra.
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