Base di un sottospazio vettoriale
Ciao a tutti! avrei una domanda su come procedere per risolvere un esercizio. Ho un sottospazio vettoriale
X= { ( x, y, z ) in R3| x - y + z = 0 , x - 2y = 0 } , mi si chiede di determinare una base. Non so bene come comportarmi di fronte ad un sottospazio vettoriale definito da due equazioni, in particolare non so se il ragionamento seguente è corretto per risolvere l'esercizio: per trovare una base di R3 ho bisogno di 3 vettori che siano linearmente indipendenti e che generino. Più precisamente, dato che la dimensione di R3 è 3 è sufficiente verificare che i tre vettori siano linearmente indipendenti. Quindi ciò di cui ho bisogno sono tre vettori che, oltre ad essere linearmente indipendenti, mi soddisfino le condizioni poste dalle equazioni che definiscono il sottospazio vettoriale. Ma come faccio a trovare questi tre vettori?
X= { ( x, y, z ) in R3| x - y + z = 0 , x - 2y = 0 } , mi si chiede di determinare una base. Non so bene come comportarmi di fronte ad un sottospazio vettoriale definito da due equazioni, in particolare non so se il ragionamento seguente è corretto per risolvere l'esercizio: per trovare una base di R3 ho bisogno di 3 vettori che siano linearmente indipendenti e che generino. Più precisamente, dato che la dimensione di R3 è 3 è sufficiente verificare che i tre vettori siano linearmente indipendenti. Quindi ciò di cui ho bisogno sono tre vettori che, oltre ad essere linearmente indipendenti, mi soddisfino le condizioni poste dalle equazioni che definiscono il sottospazio vettoriale. Ma come faccio a trovare questi tre vettori?
Risposte
Il fatto è che il vettore che devi trovare è solo uno: infatti quelle due equazioni sono le equazioni cartesiane di due piani, quindi se le consideri contemporaneamente stai considerando l'intersezione dei due piani (che, se non sono paralleli, è una retta). In pratica $X$ è composto da tutti i vettori $(x,y,z)$ tali che
\[
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
1 & -2 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}.
\]
Dalla prima equazione ricavi $z=y-x$ e dalla seconda $x=2y$, che sostituita nella prima ti da $z=y-2y=-y$. Quindi $X$ è composto da tutti i vettori $(x,y,z)$ fatti in questo modo:
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2y \\
y \\
-y
\end{bmatrix}
=y
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
-1
\end{bmatrix}
\]
al variare di $y\in\mathbb{R}$. Dunque una base di $X$ è $(2,1,-1)$.
\[
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 1 \\
1 & -2 & 0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0 \\
0
\end{bmatrix}.
\]
Dalla prima equazione ricavi $z=y-x$ e dalla seconda $x=2y$, che sostituita nella prima ti da $z=y-2y=-y$. Quindi $X$ è composto da tutti i vettori $(x,y,z)$ fatti in questo modo:
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2y \\
y \\
-y
\end{bmatrix}
=y
\begin{bmatrix}
2 \\
1 \\
-1
\end{bmatrix}
\]
al variare di $y\in\mathbb{R}$. Dunque una base di $X$ è $(2,1,-1)$.
Ho capito, allora mi ritrovo con un altro dubbio. se la domanda dell' esercizio fosse stata: calcolare la dimensione del sottospazio vettoriale dato. Supponiamo di non sapere che quelle due equazioni rappresentino una retta, come avrei potuto rispondere?
Mi accorgo, dal sistema lineare, che che l'unica possibilità è che la dimensione sia 1 dato che aggiungendo qualsiasi altro vettore che mi soddisfi le due equazioni creo sempre un insieme di vettori linearmente dipendenti. Possibile?
Mi accorgo, dal sistema lineare, che che l'unica possibilità è che la dimensione sia 1 dato che aggiungendo qualsiasi altro vettore che mi soddisfi le due equazioni creo sempre un insieme di vettori linearmente dipendenti. Possibile?
Dato che la dimensione di $\mathbb{R}^3$ è $3$ e le equazioni indipendenti che descrivono il sottospazio sono $2$, allora la dimensione del sottospazio è $3-2=1$.
Va bene, grazie mille!
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