Base di un sottospazio
Salve a tutti ragazzi!! Sono nuovo del forum, e sono uno studente di ingegneria; mi chiedevo se qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come si trova la base di questo sottospazio W di R4, definito dalla seguente equazione lineare:
x+y+2z=0
Sono veramente in difficolta, perchè a me la dimensione di tale sottospazio risulta a essere 2, quando il libro indica 3! Ho provato a scegliere quattro vettori di W (che soddisfino l'equazione, e quindi generatori di W) e vedere se sono linearmente indipendenti; per vedere se sono linearmente indipendenti ho disposto i vettori da me scelti sulle righe di una matrice, e ho ridotto la matrice in forma a scala; e mi risulta un rango pari a 2, e ciò vuol dire che la dimensione di W è 2! Correggetemi se sbaglio per favore. Ho scelto come vettori di W= (1,1,-1,0) , (-1,-1,1,0) , (1,-1,0,0) , (2,0,-1,0); potreste gentilmente aiutarmi? Ringrazio anticipatamente.
x+y+2z=0
Sono veramente in difficolta, perchè a me la dimensione di tale sottospazio risulta a essere 2, quando il libro indica 3! Ho provato a scegliere quattro vettori di W (che soddisfino l'equazione, e quindi generatori di W) e vedere se sono linearmente indipendenti; per vedere se sono linearmente indipendenti ho disposto i vettori da me scelti sulle righe di una matrice, e ho ridotto la matrice in forma a scala; e mi risulta un rango pari a 2, e ciò vuol dire che la dimensione di W è 2! Correggetemi se sbaglio per favore. Ho scelto come vettori di W= (1,1,-1,0) , (-1,-1,1,0) , (1,-1,0,0) , (2,0,-1,0); potreste gentilmente aiutarmi? Ringrazio anticipatamente.
Risposte
"Taraste":
Salve a tutti ragazzi!! Sono nuovo del forum, e sono uno studente di ingegneria; mi chiedevo se qualcuno potrebbe aiutarmi a capire come si trova la base di questo sottospazio W di R4, definito dalla seguente equazione lineare:
x+y+2z=0
Una sua base è:
$fr(L)= "((2,0,-1,0),(0,2,-1,0),(0,0,0,1))"$
e la sua dimensione è 3.
Sono veramente in difficolta, perchè a me la dimensione di tale sottospazio risulta a essere 2, quando il libro indica 3! Ho provato a scegliere quattro vettori di W (che soddisfino l'equazione, e quindi generatori di W) e vedere se sono linearmente indipendenti; per vedere se sono linearmente indipendenti ho disposto i vettori da me scelti sulle righe di una matrice, e ho ridotto la matrice in forma a scala; e mi risulta un rango pari a 2, e ciò vuol dire che la dimensione di W è 2! Correggetemi se sbaglio per favore. Ho scelto come vettori di W= (1,1,-1,0) , (-1,-1,1,0) , (1,-1,0,0) , (2,0,-1,0); potreste gentilmente aiutarmi? Ringrazio anticipatamente.
Il metodo per trovare i vettori in genere è questo: metti a zero tutti gli elementi di un vettori e ne "eserciti solo 1" alla volta. Per esercitare intendo mettere un numero dentro all'elemento e vedere come si comportano le equazioni che hai.
Es:
$(0,0,0,1)$ l'equazione è soddisfatta (ricordati che la dimensione è 4 per cui c'è la quarta dimensione dello spazio, rappresentata da "t").
$(0,0,1,0)$ in questo caso non è soddisfatta. Cosa devo fare ? Prendo la prima dimensione "x" la ricavo in modo da soddisfare l'equazione. Tengo nota che ho "usato" x, perchè alla fine sarà inutile esercitare anche "x" in quanto mi è servita per "aggiustare" l'equazione. Ottengo (-2,0,1,0).
E così via, senza alla fine considerare "x".
In genere se hai uno spazio di dimensione $n$ e hai $k$ equazioni "$k$ segni di uguale" ottieni un sottospazio di dimensione $n-k$
Ok grazie; ma allora anche i miei vettori che ho scelto io risultano essere giusti, no?
Sono tutti vettori del sottospazio $W$, ma non sono una base.
Ok fino a qui ci sono. Ma come faccio a dire che sono una base? Devo vedere che uno di loro è combinazione lineare degli altri giusto? come hai fatto a scegliere immediatamente quei 3 vettori per la base di W? Per l'ultima regola da te detta?
Un sottospazio può essere generato a partire da diversi insiemi di vettori. Tra i possibili insiemi di generatori alcuni risultano più economici di altri: sono gli insiemi di vettori con la proprietà di essere linearmente indipendenti. Un tale insieme di vettori è detto base del sottospazio. Per trovare una base devi seguire la regola che ho scritto.
"Taraste":
[...]
Sono veramente in difficolta, perchè a me la dimensione di tale sottospazio risulta a essere 2, quando il libro indica 3!
Vorrei spendere due parole ché, per un attimo, prima di aver letto \(\displaystyle \mathbb{R}^{4} \), ci sono cascato anche io. Per fare chiarezza, quell'equazione lineare andrebbe riscritta come \(\displaystyle x+y+2z+0t=0 \) che è alla fin fine un sistema omogeneo (e le sue soluzioni stanno tutte nel nucleo dell'applicazione lineare \(\displaystyle A=(1 \ 1 \ 2 \ 0) \)); essendo perciò un sistema lineare, si nota che i ranghi delle matrici incompleta e completa sono uguali e pari a \(\displaystyle 1 \); pertanto il sistema ammette soluzioni (punto cruciale, ma non in questo caso), ed il sottospazio delle soluzioni ha dimensione \(\displaystyle n - \text{Rk A}=3 \) ( - \(\displaystyle n \) è il numero delle colonne di \(\displaystyle A \)).
Ok è chiaro. grazie a tutti per le risposte
Vorrei evidenziare un altro metodo, più schematico e forse più facile, per trovare i vettori che stai cercando.
Il tuo sottospazio è dato da \(x + y + 2z = 0\). A questo punto lo passi in forma parametrica, nel seguente modo.
Partendo da \(x + y + 2z = 0\) scegli due delle tre variabili [scegli quelle che più ti piacciono] e le promuovi a parametri:
\[
\begin{cases}
x + y + 2z = 0 \\
x = u \\
y = v
\end{cases}
\begin{cases}
x = u \\
y = - u - 2 v \\
z = v
\end{cases}.
\]
A questo punto hai che il tuo sottospazio di partenza è dato da tutti i vettori della forma
\[
\mathbf w = u
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ v
\begin{pmatrix}
0 \\ -2 \\ 1
\end{pmatrix}
\]
ed in questo modo hai, in un colpo solo, la dimensione [2, perché hai due parametri liberi] e due vettori che generano il sottospazio, che ottieni scegliendo valori a piacere per \(u\) e \(v\).
Il tuo sottospazio è dato da \(x + y + 2z = 0\). A questo punto lo passi in forma parametrica, nel seguente modo.
Partendo da \(x + y + 2z = 0\) scegli due delle tre variabili [scegli quelle che più ti piacciono] e le promuovi a parametri:
\[
\begin{cases}
x + y + 2z = 0 \\
x = u \\
y = v
\end{cases}
\begin{cases}
x = u \\
y = - u - 2 v \\
z = v
\end{cases}.
\]
A questo punto hai che il tuo sottospazio di partenza è dato da tutti i vettori della forma
\[
\mathbf w = u
\begin{pmatrix}
1 \\ -1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ v
\begin{pmatrix}
0 \\ -2 \\ 1
\end{pmatrix}
\]
ed in questo modo hai, in un colpo solo, la dimensione [2, perché hai due parametri liberi] e due vettori che generano il sottospazio, che ottieni scegliendo valori a piacere per \(u\) e \(v\).
Ok ho capito questo metodo, ma forse in questo caso è errato dato che il sottospazio è contenuto in R4; e quindi bisognava aggiungere un altra variabile al sistema di equazioni. Grazie comunque
Hai ragione, mi era sfuggito che fossi in \(\mathbb R^4\)! In questo caso basta aggiungere l'incognita \(t\) ed un altro parametro qualunque e ripetere il procedimento con 4 componenti anziché con tre.
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