Base di un sottospazio
Ciao a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi a fare questo esercizio?
1. Si consideri il sottospazio U ⊂ R^4 definito da x−y + 3z−t = 0.
Dopo aver verificato che u1 = (1 0 0 1)^T e u2 = (0 2 0 −2)^T sono vettori linearmente indipendenti ed appartenenti ad U, trovare u3 ∈ U tale che {u1,u2,u3} sia una base di U.
Ho già verificato che u1 e u2 appartengono ad U, mediante sostituzione. Sono linearmente indipendenti poichè non esiste alcuno scalare che moltiplicato per uno di loro dia come soluzione l'altro.
Mi sto trovando in difficoltà a trovare la base u3
Grazie
1. Si consideri il sottospazio U ⊂ R^4 definito da x−y + 3z−t = 0.
Dopo aver verificato che u1 = (1 0 0 1)^T e u2 = (0 2 0 −2)^T sono vettori linearmente indipendenti ed appartenenti ad U, trovare u3 ∈ U tale che {u1,u2,u3} sia una base di U.
Ho già verificato che u1 e u2 appartengono ad U, mediante sostituzione. Sono linearmente indipendenti poichè non esiste alcuno scalare che moltiplicato per uno di loro dia come soluzione l'altro.
Mi sto trovando in difficoltà a trovare la base u3
Grazie
Risposte
Completamento a base.
Per esempio $u_3= (1,1,0,0)$. Scrivi $x$ in funzione di $y,z,t$ e assegna a questi valori dei parametri, da lì poi è immediato.
Per esempio $u_3= (1,1,0,0)$. Scrivi $x$ in funzione di $y,z,t$ e assegna a questi valori dei parametri, da lì poi è immediato.
Provo a risponderti
Troviamo prima una base di $U$, che ricavo così
$x-y+3z-t=0<=>{(x=a),(y=b),(z=c),(t=a-b+3c):},a,b,c\in\RR$
Un generico vettore di $U$ è
$(a,b,c,a-b+3c), a,b,c\in\RR$
Dunque una base di vettori è
$v_1=(1,0,0,1),v_2=(0,1,0,-1),v_3=(0,0,1,3)$
Come si nota, $v_1=u_1$ e $u_2=2v_2$. Quindi un terzo vettore è senz'altro $v_3$
Troviamo prima una base di $U$, che ricavo così
$x-y+3z-t=0<=>{(x=a),(y=b),(z=c),(t=a-b+3c):},a,b,c\in\RR$
Un generico vettore di $U$ è
$(a,b,c,a-b+3c), a,b,c\in\RR$
Dunque una base di vettori è
$v_1=(1,0,0,1),v_2=(0,1,0,-1),v_3=(0,0,1,3)$
Come si nota, $v_1=u_1$ e $u_2=2v_2$. Quindi un terzo vettore è senz'altro $v_3$
"Cantor99":
Provo a risponderti
Troviamo prima una base di $U$, che ricavo così
$x-y+3z-t=0<=>{(x=a),(y=b),(z=c),(t=a-b+3c):},a,b,c\in\RR$
Un generico vettore di $U$ è
$(a,b,c,a-b+3c), a,b,c\in\RR$
Dunque una base di vettori è
$v_1=(1,0,0,1),v_2=(0,1,0,-1),v_3=(0,0,1,3)$
Come si nota, $v_1=u_1$ e $u_2=2v_2$. Quindi un terzo vettore è senz'altro $v_3$
Capito tutto fino alla penultima riga, poi però non ho capito come hai fatto a trovare u3. Hai usato dei valori casuali?
Quindi ci possono essere più risposte diverse a questa domanda?
Se $v_1,v_2,v_3$ sono linearmente indipendenti, lo sono anche $v_1,2v_2,v_3$, giusto?
Quindi anche $u_1,u_2,v_3$ è linearmente indipendente e pongo dunque $u_3=v_3$
In generale la risposta non è unica, ci sono infinite altre soluzioni, basta infatti trovare un qualsiasi vettore di $U$ linearmente indipendente con $u_1,u_2$ :se al posto di $u_3=v_3$ metto $u_3=12496900186v_3$ va bene lo stesso!
Quindi anche $u_1,u_2,v_3$ è linearmente indipendente e pongo dunque $u_3=v_3$
In generale la risposta non è unica, ci sono infinite altre soluzioni, basta infatti trovare un qualsiasi vettore di $U$ linearmente indipendente con $u_1,u_2$ :se al posto di $u_3=v_3$ metto $u_3=12496900186v_3$ va bene lo stesso!
Quindi diciamo che hai scelto i valori da dare ad "a", "b", "c" in modo tale che fosse rispettata l'indipendenza lineare di v3 con u1 e u2, giusto?
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