Base di un sottospazio

[Spippol]

Salve ragazzi, vorrei una spiegazione per quanto riguarda l'estrazione di una base di un sottoinsieme per esempio:
Ho un sottoinsieme del tipo (x-2y-z=0). L'esercizio mi chiede:
1) Si dimostri che V è un sotospazio di R^3 (Contiene il vettore nullo, inoltre è l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo, per cui è un sottospazio)
2) Determinare una base e la dimensione dimV di V (la dimensione è 3) ma una base come si estrae? Vi ringrazio! <3

[Trilogy]

Scusa, sei proprio sicuro sicuro che la dimensione sia 3???
Prima ancora di cercare una base, prescindendo dal fatto che $V$ sia un sottospazio di $RR^3$, puoi notare che la tua equazione rappresenta un piano!
Mi sembra più importante capire questo, per prima cosa!
Per trovare una base, puoi osservare che
$V={(x,y,z) in RR^3 | x-2y-z=0}$.

Quindi hai
$x=2y+z$
e puoi ri-esprimere $V$ come

${(2y+z,y,z) | y,z in RR}$.

E allora, "sostituendo", hai
$V=<(2,1,0), (1,0,1)>$.

E allora i poiché i vettori $(2,1,0), (1,0,1)$ sono linearmente indipendenti, costituiscono una base di $V$.

Comunque, se la dimensione fosse stata 3, allora avresti avuto $V=RR^3$, e cercare di estrarre una base sarebbe stato un po' inutile, no?

[Spippol]

Si, hai ragione!! Quindi dimV quanto vale?!

[Spippol]

Vale 2!?

[Trilogy]

Sì..