Base di somma e intersezione di sottospazi di polinomi
Ciao a tutti, ho un problema di un esercizio che non riesco a svolgere. La consegna è la seguente:
Si considerino i seguenti sottospazi si R3[x],
U={ p(x) $ in $ R3[x] | p(0)=0, p(-1)=0} e
W={p(x) $ in $ R3{x} | p' (-1)=0}
essendo p' il polinomio derivato di p. Determinare una base di U $ nn $ W e una base di U + W. Grazie
Si considerino i seguenti sottospazi si R3[x],
U={ p(x) $ in $ R3[x] | p(0)=0, p(-1)=0} e
W={p(x) $ in $ R3{x} | p' (-1)=0}
essendo p' il polinomio derivato di p. Determinare una base di U $ nn $ W e una base di U + W. Grazie
Risposte
Ciao.
Riesci a trovare dimensioni e basi degli spazi $U,W$?
Saluti.
Riesci a trovare dimensioni e basi degli spazi $U,W$?
Saluti.
allora considero il generico polinomio a+bx+cx^2+dx^3 con a,b,c,d appartenenti a R. Mi trovo:
p(0)=0 => a=0;
p(-1)=0 => a-b+c-d=0; e adesso mi blocco.. da questa equazione dovrei ricavarmi i valori di a,b,c,d e poi sostituire al generico polinomio i risultati ottenuti?
p(0)=0 => a=0;
p(-1)=0 => a-b+c-d=0; e adesso mi blocco.. da questa equazione dovrei ricavarmi i valori di a,b,c,d e poi sostituire al generico polinomio i risultati ottenuti?
Esatto.
Saluti.
Saluti.
"alessandro8":
Esatto.
Saluti.
quindi (scusa, vorrei capire se sto facendo bene) io mi ritrovo:
a=0 e quindi
b-c+d=0
b= c-d
c= b+d
d=b+c
da queste ho:
p(x)= (c-d)x+ (b+d)x^2 + (b+c)x^3 => cx-dx+bx^2+dx^2+bx^3+cx^3 => c(x+x^3)+ d(-x+x^2) +b(x^2+x^3) quindi
(x+x^3),(-x+x^2),(x^2+x^3) è un sistema di generatori. Mi sembrano tutti linearmente indipendenti di conseguenza costituiscono una base di U e quindi dimU=3. Fino a qui è giusto? Grazie ancora per la tua disponibilità
"polloncombinaguai":
quindi (scusa, vorrei capire se sto facendo bene) io mi ritrovo:
a=0 e quindi
b-c+d=0
b= c-d
Stop.
Quindi, semplicemente, si ottiene
$p(x)=(c-d)x+cx^2+dx^3=c(x+x^2)+d(-x+x^3)$
Allora
$U=mathcalL{x+x^2,-x+x^3}$
da cui si ricava $dimU=2$
perchè i due generatori sono, chiaramente, linearmente indipendenti.
Saluti.
ah ok grazie! invece per quanto riguarda il secondo sottospazio? prendo il polinomio p(x)= (c-d)x+cx^2+dx^3 ottenuto prima e lo derivo? quindi mi viene:
c-d+2cx+3dx^2 => c(1+2x) + d(-1+3x^2) e come prima questi vettori generano il sottospazio e ne costituiscono una base? e quindi dimw=2? Scusa ancora per il disturbo
c-d+2cx+3dx^2 => c(1+2x) + d(-1+3x^2) e come prima questi vettori generano il sottospazio e ne costituiscono una base? e quindi dimw=2? Scusa ancora per il disturbo
"polloncombinaguai":
ah ok grazie! invece per quanto riguarda il secondo sottospazio? prendo il polinomio p(x)= (c-d)x+cx^2+dx^3 ottenuto prima e lo derivo?
No, perchè il secondo sottospazio è definito mediante altre condizioni, indipendenti da quelle che definivano il primo sottospazio; qui bisogna ripartire con il generico polinomio di terzo grado (al più) e ripetere lo stesso tipo di procedimento.
Quindi...?
Saluti.
ok quindi prima derivo il generico polinomio e poi sostituisco -1?
p'(x)= b+cx+dx^2 e pongo p'(-1)=0 come vuole la condizione:
p'(-1)= b-c+d=0 => b= c-d quindi
p(x)= a+c-d+cx^2+dx^3 poi raccolgo etc etc.. giusto?
p'(x)= b+cx+dx^2 e pongo p'(-1)=0 come vuole la condizione:
p'(-1)= b-c+d=0 => b= c-d quindi
p(x)= a+c-d+cx^2+dx^3 poi raccolgo etc etc.. giusto?
No.
Parti da
$p(x)= a+bx+cx^2+dx^3 Rightarrow p'(x)=b+2cx+3dx^2$
...eccetera.
Saluti.
Parti da
$p(x)= a+bx+cx^2+dx^3 Rightarrow p'(x)=b+2cx+3dx^2$
...eccetera.
Saluti.
"alessandro8":
No.
Parti da
$p(x)= a+bx+cx^2+dx^3 Rightarrow p'(x)=b+2cx+3dx^2$
...eccetera.
Saluti.
si è quello che avevo fatto nel foglio solo che ho ricopiato male ahah grazie mille!
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo