Base di S

[lattore]

si determini una base del sottospazio S={(a,o,b,a)/a,b $ in R $ }$ sub R^4 $

[Shocker1]

Qualche tua idea?

[lattore]

eh... in questo caso non ne ho proprio.... non saprei da dove iniziare

[Shocker1]

"unassoluto":eh... in questo caso non ne ho proprio.... non saprei da dove iniziare

Allora $S = {( (a), (0), (b), (a)) | a, b \in \mathbb{R}} = { a( (1), (0), (0), (1)) + b( (0), (0), (1), (0)) | a, b \in \mathbb{R}}$, quindi $v \in S \iff v = a( (1), (0), (0), (1)) + b( (0), (0), (1), (0))$ con $a, b \in \mathbb{R}$. Questo cosa significa?

[lattore]

ah che quella è già una base, in quanto i vettori sono l.i.

[lattore]

ma n generale, a parte questo esercizio, come si fa?

[Shocker1]

"unassoluto":ma n generale, a parte questo esercizio, come si fa?

Dipende dall'esercizio.
Per esempio se ti chiedono di determinare dimensione e una base di un sottospazio $W$ di $V$ generato dai vettori ${v_1, ... , v_t}$ allora la cosa è abbastanza semplice: costruisci la matrice $A = |(v_1, ... , v_t)|$, cioè $A$ ha per colonne $v_1, ... , v_t$[nota]Se i vettori non sono numerici allora le colonne di $A$ sono costituite dalle coordinate dei vettori $v_1, ... v_t$ rispetto a una base di $V$[/nota], applichi l'algoritmo di riduzione di gauss e in un colpo trovi dimensione e base di $W$.

Ti faccio qualche esempio semplice tanto per chiarire le idee.

1)Consideriamo $V = R^4$, determinare dimensione e base del sottospazio $W$ generato dati vettori ${( (1), (2), (3), (4)), ( (0), (1), (0), (0)), ((1), (5), (0), (3)), ((0), (-3), (3), (1))}$.

Come scritto sopra considero la matrice $A = |(1, 0, 1, 0), (2, 1, 5, -3), (3, 0, 0, 3), (4, 0, 3, 1)|$.
Riducendo si ottiene una matrice a scala $A' = |(1, 0, 1, 0), (0, 1, 3, -3), (0, 0, -3, 3), (0, 0, 0, 0)| \rightarrow$ i vettori a cui corrispondono i tre pivots sono linermente indipendenti, quindi ${( (1), (2), (3), (4)), ( (0), (1), (0), (0)), ((1), (5), (0), (3))}$ sono una base di $W$ e $dimW = 3$.

2)Consideriamo $V = \mathbb{R_3}[x]$ lo spazio dei polinomi di grado $<= 3$, determinare dimensione e una base di $W = {p(x) \in V | p(x) = p(-x) \forall x \in \mathbb{R}}$.
Come vedi qui non abbiamo già a disposizione dei generatori, dobbiamo trovarli. Come si fa? Beh sappiamo che $p(x) \in W \iff p(x) = p(-x) \forall x \in \mathbb{R}$. Fissiamo $B = {1, x, x^2, x^3}$ come base di $V$, allora un polinomio $p(x) \in V$ si scrive come $p(x) = a*1 + bx+ cx^2 + dx^2$ con $a, b, c, d \in \mathbb{R}$. Riprendendo la relazione che definisce $W$ impostiamo l'equazione $p(x) = p(-x) \iff a +bx +cx^2 + dx^3 = a -bx +cx^2 - dx^3 \iff 2bx + 2dx^3 = 0$, dato che ${x, x_3}$ sono L. I questo implica $b = d = 0$. Riscrivendo tutto ho che $p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 \in W \iff b = d = 0 \iff p(x) = a + cx^2$ dunque $W = Span(1, x^2)$ e $dimW = 2$.

3)Sia sempre $V = \mathbb{R_3}[x]$ e $W = Span{1+x+x^3, -1+x^2, x^3, x^2-x}$. Determinare la dimensione e una base di $W$. Risolviamolo con le coordinate!
Fissiamo $B = {1, x, x^2, x^3}$ come base di $V$, le coordinate di $v_1 = 1 + x +x^3$, $v_2 = -1+x^2$, $v_3 = x^3$, $v_4= x^2+x$ rispetto a $B$ sono rispettivamente $[v_1]_B = ( (1), (1), (0), (1))$, $[v_2]_B = ( (-1), (0), (1), (0))$, $[v_3]_B = ( (0), (0), (0), (1))$ e $[v_4]_B = ((0), (1), (1), (0))$. Quindi:
$A = ( (1, -1, 0, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 0, 1), (1, 0 ,1, 0))$. Applicando l'algoritmo di gauss otteniamo $A' = ((1, -1, 0, 0),(0, 1, 0, 1), (0, 0, 0, 1), (0, 0, 0, 0))$, quindi i vettori linearmente indipendenti sono $v_1, v_2, v_4$. Dunque $W = Span(v_1, v_2, v_4)$ e $dimW = 3$.


Generalmente quindi si cerca di dedurre un sistema di generatori per il sottospazio e poi se ne estrae una base.
Una trattazione più completa la trovi su un qualsiasi libro di algebra lineare(per esempio "Geometria" di Abate).

Se hai dubbi chiedi pure!

Ciao

[lattore]

grazie mille, anche se noi la riduzione di gauss non l'abbiamo fatta, ho capito bene... essenzialmente per determinare una base bisogna vedere i vettori l.i. tra quelli assegnati e quelli formano una base, giusto?

[Shocker1]

"unassoluto":grazie mille, anche se noi la riduzione di gauss non l'abbiamo fatta, ho capito bene... essenzialmente per determinare una base bisogna vedere i vettori l.i. tra quelli assegnati e quelli formano una base, giusto?

Giusto.