Base di endomorfismo
Salve a tutti, sono nuovo, ho scoperto ora questo fantastico forum, e credo che sarà molto utile 
Frequento Ingegneria e tra poco avrò l'esame di Algebra lineare e geometria..bella gatta da pelare. Vi allego qui sotto il link dell'esercizio che non mi torna. Precisamente parlo della parte 4 dell'esercizio 2 (della quale è presente anche lo svolgimento).
http://www.math.unipd.it/~cantarin/dida ... IIcomp.pdf
Tuttavia non mi è comunque chiaro il perchè si sia ragionato cosi per risolvere l'esercizio. Precisamente non mi è chiaro il modo con cui ha trovato i vettori v2 e v3 della base B richiesta. Come mai li ha calcolati utilizzando la matrice dell'endomorfismo f^2, che tra l'altro è riferita ad una base diversa? cioè per come la vedo io f^2 e la sua relativa matrice associata non hanno nulla a che vedere con quello che sto cercando io. A me servirebbe semplicemnente che qualcuno mi spiegasse in virtù di che ragionamento l'esercizio è stato risolto utilizzando f^2. Sicuramente non sono stato abbastanza chiaro, ma credetemi, non saprei spiegarmi meglio di cosi
Vi ringrazio molto, e spero che nessuno debba scervellarsi troppo per capire quali sono le mie perplessità.
Saluti a tutti
Frequento Ingegneria e tra poco avrò l'esame di Algebra lineare e geometria..bella gatta da pelare. Vi allego qui sotto il link dell'esercizio che non mi torna. Precisamente parlo della parte 4 dell'esercizio 2 (della quale è presente anche lo svolgimento).http://www.math.unipd.it/~cantarin/dida ... IIcomp.pdf
Tuttavia non mi è comunque chiaro il perchè si sia ragionato cosi per risolvere l'esercizio. Precisamente non mi è chiaro il modo con cui ha trovato i vettori v2 e v3 della base B richiesta. Come mai li ha calcolati utilizzando la matrice dell'endomorfismo f^2, che tra l'altro è riferita ad una base diversa? cioè per come la vedo io f^2 e la sua relativa matrice associata non hanno nulla a che vedere con quello che sto cercando io. A me servirebbe semplicemnente che qualcuno mi spiegasse in virtù di che ragionamento l'esercizio è stato risolto utilizzando f^2. Sicuramente non sono stato abbastanza chiaro, ma credetemi, non saprei spiegarmi meglio di cosi
Vi ringrazio molto, e spero che nessuno debba scervellarsi troppo per capire quali sono le mie perplessità.
Saluti a tutti
Risposte
Ci sono delle sviste tipografiche nel testo delle risposte. Per esempio quando scrive $A_{-4}+I_4$, dovrebbe essere
$A_{-4}^2+I_4$. E quando afferma che "abbiamo determinato tale autospazio rispondendo alla domanda 3 ", dovrebbe essere "abbiamo determinato tale autospazio rispondendo alla domanda 2".
A parte questi "piccoli" inconvenienti, penso che siamo tutti consapevoli che :
\(\displaystyle f_{-4}(v_1)=0v_1+0v_2+0v_3=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle f_{-4}(v_2)=0v_1+0v_2+1v_3=v_3\)
\(\displaystyle f_{-4}(v_3)=0v_1-1v_2+0v_3=-v_2\)
Per effetto di ciò risulta :
\(\displaystyle f_{-4}^2(v_1)=f_{-4}(f_{-4}(v_1))=f_{-4}\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
$f_{-4}^2(v_2)=f_{-4}(f_{-4}(v_2))=f_{-4}(v_3)=-v_2=-1\cdot v_2$
$f_{-4}^2(v_3)=f_{-4}(f_{-4}(v_3))=f_{-4}(-v_2)=-v_3=-1\cdot v_3$
Ne segue che :
a)il vettore $v_1$ appartiene al ker di $f_{-4}^2$ e si può quindi identificare, per esempio, col vettore $ (8,0,5)^t$ già indicato nella soluzione.
b) il valore -1 è un autovalore ( doppio) di $f_{-4}^2$ e quindi i vettori $v_2,v_3 $ possono identificarsi con gli autovettori dell'autospazio $V_{-1}$ già calcolato al punto 2.
In conclusione abbiamo che :
$v_1=(8,0,5)^t, v_2=(0,1,0)^t,v_3=(13,0,8)^t$
N.B. La soluzione suggerita dal testo è piuttosto originale ( per quel che mi riguarda) ma non alla portata di tutti.
Forse varrebbe la pena di seguire il procedimento standard che è però abbastanza lungo e faticoso. Non mi chiedere per favore di scriverlo : morirei prima di finire ...
$A_{-4}^2+I_4$. E quando afferma che "abbiamo determinato tale autospazio rispondendo alla domanda 3 ", dovrebbe essere "abbiamo determinato tale autospazio rispondendo alla domanda 2".
A parte questi "piccoli" inconvenienti, penso che siamo tutti consapevoli che :
\(\displaystyle f_{-4}(v_1)=0v_1+0v_2+0v_3=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
\(\displaystyle f_{-4}(v_2)=0v_1+0v_2+1v_3=v_3\)
\(\displaystyle f_{-4}(v_3)=0v_1-1v_2+0v_3=-v_2\)
Per effetto di ciò risulta :
\(\displaystyle f_{-4}^2(v_1)=f_{-4}(f_{-4}(v_1))=f_{-4}\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)
$f_{-4}^2(v_2)=f_{-4}(f_{-4}(v_2))=f_{-4}(v_3)=-v_2=-1\cdot v_2$
$f_{-4}^2(v_3)=f_{-4}(f_{-4}(v_3))=f_{-4}(-v_2)=-v_3=-1\cdot v_3$
Ne segue che :
a)il vettore $v_1$ appartiene al ker di $f_{-4}^2$ e si può quindi identificare, per esempio, col vettore $ (8,0,5)^t$ già indicato nella soluzione.
b) il valore -1 è un autovalore ( doppio) di $f_{-4}^2$ e quindi i vettori $v_2,v_3 $ possono identificarsi con gli autovettori dell'autospazio $V_{-1}$ già calcolato al punto 2.
In conclusione abbiamo che :
$v_1=(8,0,5)^t, v_2=(0,1,0)^t,v_3=(13,0,8)^t$
N.B. La soluzione suggerita dal testo è piuttosto originale ( per quel che mi riguarda) ma non alla portata di tutti.
Forse varrebbe la pena di seguire il procedimento standard che è però abbastanza lungo e faticoso. Non mi chiedere per favore di scriverlo : morirei prima di finire ...
Innanzitutto ti ringrazio molto per la risposta. Poi, mi prendo qualche giorno per leggere bene la tua risposta e capirla, in quanto ora sono su tutt'altra materia
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