Base di autovettori senza autospazi

[zerbo1000]

dato l'endomorfismo di $R^3$

$
{(f(e_1)=e_1-e_3),(f(e_2)=e_2),(f(e_3)=-e_1+e_3):}
$

la matrice associata è $((1,0,-1),(0,1,0),(1,0,-1))$

l'immagine è l'insieme delle combinazioni lineari di $((1,0,-1)$$(0,1,0))$
il kernel è l'insieme delle combinazioni lineari di $((1,0,1))$

inoltre l'immagine e il kernel in somma diretta generano $R^3$

mi si chiede di trovare una base di $R^3$ formata da autovalori senza calcolare gli autospazi

ma non saprei prorpio come fare...

i risultati dicono che "dato che gli autovalori sono $0$ $1$ $2$ tutti di molteplicità $1$ quindi si possono prendere i vettori $(1,0,1),(0,1,0),(1,0,-1)$ come autovettori ad essi relativi"

noto che sono l'immagine e il kernel di f quei vettori....

qualcuno può spegarmi il perchè?

grazie

[enricorrx]

Spiegami che cosa intendi con supplementari. Forse complementari?
E poi immagino ti serva una base di autovettori.

"Senza calcolare gli autospazi" significa che probabilmente si vedono a occhio.
Tipo uno è \(\displaystyle e_2 \).

[zerbo1000]

"enricorrx":Spiegami che cosa intendi con supplementari. Forse complementari?
E poi immagino ti serva una base di autovettori.

"Senza calcolare gli autospazi" significa che probabilmente si vedono a occhio.
Tipo uno è \(\displaystyle e_2 \).

ho cambiato il messaggio cosi è più chiaro, per supplementari intendo che sono in somma diretta formano lo spazio di cui sono sottospazio. $e_2$ si lo vedo pure io, ma gli altri no, grazie

[MementoMori2]

Allora innanzitutto hai sbagliato a scrivere la matrice associata all'applicazione lineare infatti quest'ultima è

$ ((1,0,-1),(0,1,0),(-1,0,1)) $

questa è simmetrica quindi è diagonalizzabile

mi si chiede di trovare una base di $ R^3 $ formata da autovalori senza calcolare gli autospazi

autovettori !!!!

per quanto riguarda la risposta al tuo quesito ti do un suggerimento:

Il kernel e l'immagine che hai trovato sono sottospazi vettoriali invarianti per f