Base dello spazio vettoriale dei polinomi di secondo grado

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Come da titolo ho un sottospazio vettoriale di $R_3[x]$, questo sottospazio vettoriale lo chiamo $P$, $P$ è costituito da tutti i polinomi di grado non superiore a 3 che soddisfano la seguente condizione : $p(-x)=p(x)$


Detto ciò deduco che il sottospazio $P$ è costituito da tutti i polinomi del tipo:
$ax^2+c$

Cioè da tutti i polinomi di secondo grado ai quali manca il termine con l'indeterminata di primo grado..

A questo punto trovo una base di tale sottospazio e qui mi viene il dubbio, è corretto dire che la base canonica del sottospazio è
$B=(x^2,1)$?

In questo caso il sottospazio avrebbe dimensione 2

è giusto?

[Kashaman]

io ragionerei così :
Un generico polinomio $p$ di $R_3[x]$ con base ${1,x,x^2,x^3}$ può essere scritto come $p=ax^3+bx^2+cx+d$ con $a,b,c,d \in RR$

$p \in P <=> p(-x)=p(x) <=> -ax^3+bx^2-cx+d=ax^3+bx^2+cx+d => -2ax^3-2cx=0 => 2ax^3+2cx=0 <=> ax^3+cx=0$

Da cui Ogni $p$ di $P$ è della forma $p=bx^2+d$ come giustamente dici. Da ciò si deduce che $P $ è sicuramente generato, ad esempio, dai vettori ${x^2,1}$, e poiché sono anche linearmente indipendenti tali vettori costituiscono una base di $P$. $P$ dunque ha dimensione 2.

(è simile alla tua risoluzione, ma hai mancato di dire che quei vettori devono essere linearmente indipendenti..)

ti convince?

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Si assolutamente! Non avevo scritto che i vettori erano linearmente indipendenti perchè avevo dimostrato in precendza che polinomi di differente grado sono sempre tra loro linearmente indipendenti..per cui l'avevo omesso dalle premesse..

Grazie mille come al solito Kashaman!