Base dell'immagine applicazione
Ciao a tutti!
Provo a postarmi una mia, parziale, risoluzione di un esercizio, che mi chiede:
sia $s:R^3->R^4$ l'applicazione lineare tale che $s((a,b,c)) = (a-b, a+c, 6a, b+c)$.
Stabilire se $s$ è suriettiva/iniettiva, e scrivere una base dell'immagine di $s$.
Dunque, attraverso una serie di ragionamenti, ho dedotto che l'applicazione non sia iniettiva, poichè ho ipotizzato l'esistenza di $s'(x,y,z)$, mettendolo a sistema con $s(a,b,c)$, trovando che nel codominio, due elementi hanno la stessa pre-immagine nel dominio, ovvero un elemento del dominio si "sdoppia".
Perciò potra essere suriettiva, poichè ogni elemento del codominio ha almeno un elemento nel dominio.
Fino a qui è corretto?
COme posso scrivere una base dell'immagine di $s$?
Grazie in anticipo.[xdom="Martino"]Sposto in Algebra Lineare. Attenzione in futuro, grazie.[/xdom]
Provo a postarmi una mia, parziale, risoluzione di un esercizio, che mi chiede:
sia $s:R^3->R^4$ l'applicazione lineare tale che $s((a,b,c)) = (a-b, a+c, 6a, b+c)$.
Stabilire se $s$ è suriettiva/iniettiva, e scrivere una base dell'immagine di $s$.
Dunque, attraverso una serie di ragionamenti, ho dedotto che l'applicazione non sia iniettiva, poichè ho ipotizzato l'esistenza di $s'(x,y,z)$, mettendolo a sistema con $s(a,b,c)$, trovando che nel codominio, due elementi hanno la stessa pre-immagine nel dominio, ovvero un elemento del dominio si "sdoppia".
Perciò potra essere suriettiva, poichè ogni elemento del codominio ha almeno un elemento nel dominio.
Fino a qui è corretto?
COme posso scrivere una base dell'immagine di $s$?
Grazie in anticipo.[xdom="Martino"]Sposto in Algebra Lineare. Attenzione in futuro, grazie.[/xdom]
Risposte
Ho trovato questo esercizio in un tema d'esame del corso di Matematica discreta, ecco perchè ho preferito l'altra sezione.
Scusate.
Scusate.
Caspita, sembra proprio che io abbia sbagliato tutto.
Scusa, visto che sono ancora abbastanza indietro con la preparazione, mi potresti dire cosa intendi quando dici "matrice associata"?
Ti ringrazio molto per aver risposto.
Scusa, visto che sono ancora abbastanza indietro con la preparazione, mi potresti dire cosa intendi quando dici "matrice associata"?
Ti ringrazio molto per aver risposto.
"Karozzi":
Caspita, sembra proprio che io abbia sbagliato tutto.
Scusa, visto che sono ancora abbastanza indietro con la preparazione, mi potresti dire cosa intendi quando dici "matrice associata"?
Ti ringrazio molto per aver risposto.
La matrice associata è la matrice associata rispetto alla base canonica dell'applicazione lineare; è facilissima da fare, basta che metti i valori delle variabili nella matrice, ovvero i valori della a nella prima colonna, della b nella seconda ecc..
$ A = ( ( 1 , -1 , 0),( 1 , 0 , 1 ),( 6 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
Poi facendo il sistema, fai
$ a-b = 0 $
$ a+c = 0 $
$ 6a = 0 $
da cui
$ a=-c=b=0 $
per cui il $ Ker(s)=(0,0,0) $
Il nucleo nullo significa che è iniettiva.
Siccome la matrice ha rango tre (moltiplichi per -1 la prima riga, la sommi alla seconda, quindi cancelli la quarte come combinazione lineare della seconda), per il teorema della dimensione:
$ rK(A)=dim(Ker(s))+dim(Im(s) $
Ne segue che $ dim(Im(s))=rK(A)=3 $
Si vede subito che non è suriettiva anche per il fatto che il numero di righe è maggiore del numero di colonne.
Per la base dell'immagine, invece credo vadano bene i vettori colonna che sono linearmente indipendenti.
Spero di non aver detto cavolate
Grazie mille Ryukushi, davvero!
"Karozzi":
Grazie mille Ryukushi, davvero!
Di niente, però ti consiglio di aspettare conferme da qualcuno più bravo di me: l'esame ce l'ho venerdì :S
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