Base della topologia prodotto

[anto_zoolander]

Ciao!

Sto facendo i prodotti topologici e per esercizio mi chiede di dimostrare la seguente affermazione:

dati $(X,tau)$ e $(Y,mu)$ spazi topologici, mostrare che l’insieme

$B={UtimesVsubsetXtimesY| U in tau,V in mu}$

È una base della topologia prodotto

Sicuramente è una base di qualche topologia in quanto:

$XtimesY in B$ visto che sono aperti nelle rispettive topologie e quindi sicuramente è unione di elementi della base

Se $U_1timesV_1$ e $U_2timesV_2$ sono elementi di $B$ allora essendo

$underbrace((U_1timesV_1))_(P)capunderbrace((U_2timesV_2))_(Q)=underbrace(underbrace((U_1capU_2))_(in tau)timesunderbrace((V_1capV_2))_(in mu))_(N)inB$

Per ogni $P,Q inB$ e per ogni $x in PcapQ$ esiste $N inB$ per cui $x in NsubsetPcapQ$

Questo ci garantisce che esiste una topologia avente per base. Chiaramente se due topologia dovessero avere una stessa base, allora la topologia sarebbe la stessa, quindi la topologia generata è anche unica.

In particolare la topologia è

$T={AtimesBsubsetXtimesY| exists {P_itimesQ_i}_(i in I)subsetB, bigcup_(i inI)(P_itimesQ_i)=AtimesB}$

è la minima topologia che rende continue le proiezioni?

Sicuramente le rende continue infatti se $p:XtimesY->Y$ é la proiezione su $Y$ e $U in mu$ allora $p^(leftarrow)(U)=XtimesU$ che di fatto sta in $B$ e quindi in $T$

Se $T’$ è un’altra topologia che rende continue le proiezioni allora $T’$ contiene tutti gli insiemi del tipo $XtimesV, V in mu$ e $UtimesY, U in tau$ ed essendo una topologia contiene anche

$(UtimesY)cap(XcapV)=(UcapX)times(VcapY)=UtimesV$

Quindi significa che $B subset T’$ allora $T subsetT’$

Sono fiducioso ma non troppo, come vi sembra?

[anto_zoolander]

Ciao arnett

Si sono prolisso inizialmente. Solitamente lo faccio per fissare bene le cose e poi riduco il volume delle parole

[otta96]

"anto_zoolander":Si sono prolisso inizialmente. Solitamente lo faccio per fissare bene le cose e poi riduco il volume delle parole

E si può sapere perché non scrivi sul forum DOPO averlo fatto?

[axpgn]

Ma come fa a sapere se è prolisso "il giusto" se non pubblica?

[anto_zoolander]

@arnett,otta
Ma infatti è questo che devo imparare, ad essere meno prolisso.
Ma non posso darmi troppi pareri da solo, no?

È una mia dimostrazione, mica l’ho copiata da un libro, quindi è chiaro che lo faccio per ricevere giudizi(e non polemiche).

@Alex
Esattamente

[fmnq]

Ecco alcuni esercizi che puoi fare provando a essere meno prolisso.

1. Prova a dimostrare la proprietà universale della topologia prodotto per come viene enunciata nella pagina di wikipedia

2. Prova a dimostrare che lo spazio \(\coprod_{i\in I}\), con la topologia dell'unione disgiunta, e lo spazio $X\times I$ con la topologia prodotto dove $I$ ha la topologia discreta, sono omeomorfi. Cos'è invece il prodotto $X\times I$ se $I$ ha la topologia banale?

3. Cosa si può dire delle proprietà di separazione (T0, T1,...,Tn) che sono soddisfatte da $X\times \{0,1\}$ quando il secondo insieme ha la topologia banale?

[j18eos]

"anto_zoolander":Ciao!

Sto facendo i prodotti topologici [...] In particolare la topologia è

$T={AtimesBsubsetXtimesY| exists {P_itimesQ_i}_(i in I)subsetB, bigcup_(i inI)(P_itimesQ_i)=AtimesB}$

[...]

Falso: questa non è una topologia; prendi la topologia naturale prodotto di \(\displaystyle\mathbb{R}\) con sé stesso: l'unione di rettangoli aperti è un aperto ma non è un rettangolo...

[anto_zoolander]

@fmnq
grazie, li faccio in settimana e vediamo che ne esce

@eos

Io poco prima di fare questa, ho dimostrato che fosse una topologia su $XtimesY$, magari ho sbagliato qualcosa.

se $T$ è una topologia, chiaramente \( \mathcal{B} \) è una base per definizione stessa di $T$.

$XtimesY$ e $emptyset$ stanno banalmente in $T$

se ${A_i}_(i in I)subsetT$ allora $A_i=bigcup_(j in J)(P_(i,j) times Q_(i,j))$ e quindi $bigcup_(i in I)A_i=bigcup_(i,j in (I,J))(P_(i,j)timesQ_(i,j)) in T$

se $A,B in T$ allora $A=bigcup_(i in I)P_itimesQ_i$ e $B=bigcup_(j in J)A_jtimesB_j$ dunque

[size=85]

$AcapB=[bigcup_(i in I)(P_itimesQ_i)]cap[bigcup_(j in J)(A_jtimesB_j)]=bigcup_((i,j)in ItimesJ)[(P_itimesQ_i)cap(A_jtimesB_j)]=bigcup_((i,j) in ItimesJ)[(P_icapA_j)times(Q_icapB_j)]$

[/size]
che sta in $T$ poiché è unione arbitraria di elementi di \( \mathcal{B} \)

quindi mi sembra una topologia.
Poi nel tuo esempio, come in questo, dice semplicemente che i rettangoli formano una base per la topologia e non che tutti gli aperti siano rettangoli.

[j18eos]

Per non creare confusione, metto lo spoiler.

Il problema sta nello scrivere che
\[
\bigcup_{i,j}U_i\times V_j=A\times B
\]
over \(\displaystyle U_i\in\tau\) e \(\displaystyle V_j\in\mu\); ovvero il termine di destra è un aperto (tipo una unione di rettangoli aperti), ma il termine di destra è un aperto e non un prodotto di aperti degli spazi fattori... sono stato più chiaro?

[anto_zoolander]

Si sei stato chiaro. Sul manetti dimostra che se una famiglia di insiemi soddisfa una determinata proprietà, allora esiste una topologia che ha per base quella famiglia e la topologia è proprio quella. La descrive come la topologia data dall’unione arbitraria di elementi dell’insieme.
Magari ho tradotto male il tutto

[fmnq]

"anto_zoolander":si sei stato chiaro. Solo che sul manetti, quando dimostra che se una famiglia di insiemi soddisfa una determinata proprietà, allora esiste una topologia che ha per base quella famiglia prende proprio questa topologia. O quanto meno dice la topologia data dall’unione arbitraria di elementi dell’insieme. Magari l’ho tradotta male

Questa frase ha poco senso in italiano, prima ancora che in matematica; il primo periodo è in sospeso.

[j18eos]

Semplicemente dovresti correggere così:
\[
T=\left\{A \subseteq X\times Y\mid\exists\{P_i\in\tau,\,Q_i\in\mu\}_{i\in I},\,\bigcup_{i\in I}P_i\times Q_i=A\right\}
\]
ed otterresti la topologia delle scatole, che nel caso dei prodotti finiti coincide con la topologia prodotto!

[anto_zoolander]

Perfetto.
Ti ringrazio tantissimo!

[j18eos]

Prego, di nulla.