Banale esercizio di topologia

[feddy]

Buon ferragosto a tutti,

volevo chiedere conferma su un esercizio che a lezione abbiamo "pseudo dimostrato". Ho provato a scriverlo così, spero sia corretto.

Sia $X=RR^n$. DImostrare che $\tau_{cof}$ è meno fine di $\tau_e$

N.B.: $\tau_{cof}$ è la topologia cofinita, dove un insieme è aperto sse il suo complementare è finito.

Sol.

Devo provare che $\forall B in \tau_{cof}, \forall x in \B, EE D \in \tau_e: x \in D \subset B $.

Sia perciò $x\in B \in \tau_{cof}$, allora $|C_X(B)|<+\infty$, e $|B|=+\infty$. Quindi scelgo $D =(a,b) \in \tau_e$, $x \in D$, con $|D|=|b-a| <+\infty$ e ho verificato la definizione.

$\square$

E' ok?

[killing_buddha]

Buona parte di ciò che dici non ha senso: cos'è \((a,b)\subset \mathbb R^n\), e cosa significa \(|b-a|\)?

La topologia cofinita è meno fine di quella euclidea perché gli aperti della prima sono un sottoinsieme (proprio) di quelli della seconda (se \(A\subset \mathbb R^n\) è finito, è chiuso -perché unione finita di punti, che sono chiusi in $\tau_e$-).

[feddy]

Ciao !
Scusami, in realtà la consegna valeva per $X=RR$. La spiegazione che hai fornito era la stessa fatta a lezione. Infatti, volevo provarlo usando quel criterio che ho scritto.

[killing_buddha]

Non capisco come si colleghi il criterio (e cosa voglia dire ); comunque il risultato è vero per ogni $n$.

1. Ogni aperto della cofinita è aperto nella euclidea. Equivale chiaramente a dimostrare che ogni chiuso della cofinita è chiuro nella euclidea. Del resto i singoletti sono chiusi nella euclidea, e tali sono le loro unioni finite. Quindi un chiuso della cofinita, cioè un finito, è chiuso nell'euclidea.

2. Esiste un chiuso dell'euclidea che non è chiuso nella cofinita. Ovvio: prendi un qualsiasi sottospazio vettoriale di dimensione $\ge 1$, con la topologia indotta. Questo è chiuso, perché intersezione di controimmagini di chiusi mediante funzioni continue (perché lineari!), e del resto è un insieme infinito (di cardinalità $|\mathbb R|$).

[feddy]

Grazie mille, 2 mi è chiaro e pure 1 in parte.

"killing_buddha":Non capisco come si colleghi il criterio (e cosa voglia dire

Con "criterio" intendevo: $\tau_c $ è più fine di $\tau_e$ sse

"feddy":$∀B∈τcof,∀x∈B,∃D∈τe:x∈D⊂B$

.

Devo provare che gli aperti della topologia cofinita sono sottoinsiemi propri della euclidea, in $RR$, cioè se ogni aperto della cofinita è aperto anche nella euclidea.

Per esempio, se $X=RR$, per $A=\emptyset, X$ è vero. Se $A=(-\infty,c) \cup (d,+\infty)$ $\in \tau_{cof}$, i due insiemi che formano $A$ sono pure aperti nella euclidea, e quindi va bene.
Ma se prendo $A=(-\infty,c] \cup (d,+\infty)$, questo insieme non è aperto nella euclidea... cosa sbaglio? Può essere che sbaglio a considerare $C_{RR}(A)$ un insieme finito?

[killing_buddha]

A non è aperto nella cofinita, se c

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[feddy]

Perdona la domanda banale, ma secondo me il mio problema sta qui: per $X=RR$, un insieme $(a,b)$ $a
Riguardo la tua ultima risposta: se $A=(-\infty,c) \cup (d,+\infty) \in \tau_{cof}$, allora il complementare è $[c,d]$ è finito, guardando la quantità $|d-c|$.

Ma perché allora, con $c
Scusa l'insistenza, è che ci tengo particolarmente a chiarire questo dubbio che mi assilla

[killing_buddha]

"feddy":un insieme $(a,b)$ $a
Santo cielo. [size=200]Assolutamente[/size] no. Ogni intervallo $(a,b)$ ha la stessa cardinalità di $\mathbb R$ non appena $a\ne b$.

Tu hai inteso che la topologia fosse fatta da chiusi di larghezza finita, ma questa NON è la definizione di topologia cofinita. La topologia cofinita ha per aperti i complementari di insiemi che hanno un numero finito di elementi.

[feddy]

Certo, questo mi è noto Non avevo ben compreso cosa dovesse essere finito o meno sinceramente.

Grazie mille, ora mi è tutto chiaro.