Banale esercizio di geometria
Data la parabola $y=x^2+2x+1$ trovare le coordinate del vertice e l'equzione dell'asse di simmetria
allora la formula del vertice in mio possesso è questa $V=(-b/(2a),(4ac-b^2)/2)=(-2/2,(4-4)/4)=(-1,0)$ <- vertice
e quella dell'asse di simmetria ovvero della direttrice $x+c=0$ dove sostituendo a c il valore 1 si ha $x+1=0$ <- eq direttrice
giusto così l'esercizio?basta applicare queste due formule mi pare
allora la formula del vertice in mio possesso è questa $V=(-b/(2a),(4ac-b^2)/2)=(-2/2,(4-4)/4)=(-1,0)$ <- vertice
e quella dell'asse di simmetria ovvero della direttrice $x+c=0$ dove sostituendo a c il valore 1 si ha $x+1=0$ <- eq direttrice
giusto così l'esercizio?basta applicare queste due formule mi pare
Risposte
Sul vertice ti posso confermare!
...e io ti posso ringraziare ... ^_^sull'equazione dell'asse di simmetria attendo conferma
Qualche commento.
La parabola si vede subito che si scrive anche come
[tex]$y=(x+1)^2$[/tex]
e da qui si disegna molto bene: giace sul semipiano positivo, tranne il punto [tex]$(-1,0)$[/tex] che sta sull'asse [tex]$x$[/tex] cioè il vertice
Non dovrebbe esserci un [tex]$4a$[/tex] al denominatore? Mi riferisco all'ordinata del vertice.
Asse di simmetria e direttrice sono due cose assolutamente diverse.
Comunque la formuletta per l'asse è [tex]$x= -\frac{b}{2a}$[/tex], il tuo risultato è giusto quindi.
Ciao.
"ansioso":
Data la parabola $y=x^2+2x+1$ trovare le coordinate del vertice e l'equzione dell'asse di simmetria
La parabola si vede subito che si scrive anche come
[tex]$y=(x+1)^2$[/tex]
e da qui si disegna molto bene: giace sul semipiano positivo, tranne il punto [tex]$(-1,0)$[/tex] che sta sull'asse [tex]$x$[/tex] cioè il vertice
"ansioso":
allora la formula del vertice in mio possesso è questa $V=(-b/(2a),(4ac-b^2)/2)$ <- vertice
Non dovrebbe esserci un [tex]$4a$[/tex] al denominatore? Mi riferisco all'ordinata del vertice.
"ansioso":
e quella dell'asse di simmetria ovvero della direttrice $x+c=0$ dove sostituendo a c il valore 1 si ha $x+1=0$ <- eq direttrice
Asse di simmetria e direttrice sono due cose assolutamente diverse.
Comunque la formuletta per l'asse è [tex]$x= -\frac{b}{2a}$[/tex], il tuo risultato è giusto quindi.
Ciao.
si c'è stato un errore di battitura $V=(-b/(2a),(4ac-b^2)/(4a))$
Per quanto riguardo direttrice e asse di simmitria... mi potrsti chiarire le idea in spiccioli?
la tua formula per l'asse $x=-b/(2a)$ è equivalente alla mia della direttrice $x-c=0$? o è per cubo che mi è venuto il risultato giusto?
Per quanto riguardo direttrice e asse di simmitria... mi potrsti chiarire le idea in spiccioli?
la tua formula per l'asse $x=-b/(2a)$ è equivalente alla mia della direttrice $x-c=0$? o è per cubo che mi è venuto il risultato giusto?
graficamente la parabola sarebbe tipo questa http://www.webalice.it/gbarbella/img/ch ... abola.jpeg
solo che ha vertice di cordinate (-1,0)
solo che ha vertice di cordinate (-1,0)
La direttrice in questo caso è una retta orizzontale, quindi già non può avere equazione $x=..$ (dovevo correggerti prima ma non l'ho fatto, scusami).
La direttrice è la retta che caratterizza, col fuoco, la parabola: infatti la parabola, come saprai, è il luogo dei punti equidistanti dalla retta direttrice e dal fuoco.
Graficamente la parabola non è come quella che riporti: quella ha asse orizzontale e direttrice verticale, quindi avrebbe equazione
[tex]$x=ay^2+by+c$[/tex]
Nel nostro caso l'equazione è del tipo [tex]$y=ax^2+bx+c$[/tex]. Conoscevi questa differenza sostanziale? E' fondamentale, sappi.
La direttrice è la retta che caratterizza, col fuoco, la parabola: infatti la parabola, come saprai, è il luogo dei punti equidistanti dalla retta direttrice e dal fuoco.
Graficamente la parabola non è come quella che riporti: quella ha asse orizzontale e direttrice verticale, quindi avrebbe equazione
[tex]$x=ay^2+by+c$[/tex]
Nel nostro caso l'equazione è del tipo [tex]$y=ax^2+bx+c$[/tex]. Conoscevi questa differenza sostanziale? E' fondamentale, sappi.
si ora che mi hai schiarito le idee mi so ricordato che un punto appartenente alla curva è equidistante dalla direttrice e dal fuoco! ^_^
dunque l'asse di simmetria indica se l'orientamento della parabola è verticale o rizzontale!
Grazie...quindi il fatto che sia venuto giusto l'esercizio è per pura casualità!
dunque l'asse di simmetria indica se l'orientamento della parabola è verticale o rizzontale!
Grazie...quindi il fatto che sia venuto giusto l'esercizio è per pura casualità!
Diciamo di sì
visto che semri esser ferrato in geometria.... ho un dubbio su questl'atro ese
Sia data in $S_3$ la retta $r=3x-y+2z-2=0=x+2y-z-6$ Trovare l'equazione del piano che contine r e
.1 passa per l'orgine
.2 ortogonale alla retta $x=y=z$
dovrei andare a sostituire nell'eqazione generale del piano $ax+by+cz+d=0$ i valori dell'incognite x,y,z della retta
In questo caso ho z=0? o la devo trattare come parametro?
Sia data in $S_3$ la retta $r=3x-y+2z-2=0=x+2y-z-6$ Trovare l'equazione del piano che contine r e
.1 passa per l'orgine
.2 ortogonale alla retta $x=y=z$
dovrei andare a sostituire nell'eqazione generale del piano $ax+by+cz+d=0$ i valori dell'incognite x,y,z della retta
In questo caso ho z=0? o la devo trattare come parametro?
Ma nell'equazione di $r$ compare un parametro $e$?
no mio errore di battitura è un 3x
pardon
pardon
Il punto 1 è risolvibile determinando una retta per l'origine incidente $r$ e calcolando il pano che esse determinano.
Per il punto 2 utilizza la condizione di ortogonalità tra una retta ed un piano ed imponi che il piano ottenuto contenga $r$.
Per il punto 2 utilizza la condizione di ortogonalità tra una retta ed un piano ed imponi che il piano ottenuto contenga $r$.
E' un bel po' che non faccio esercizi di geometria 3d, non mi è mai piaciuta granché.
Penso che puoi procedere così
Il fascio di piani contenenti la retta in questione è facilmente
[tex]$a(3x-y+2z-2)+b(x+2y-z-6)=0$[/tex]
Quindi se vuoi cercare il piano tra questi che passa per l'origine, basta porre [tex]$x=y=z=0$[/tex] e risolvere
[tex]$-2a-6b=0$[/tex] ovvero [tex]$a=-3b$[/tex]
Quindi inserisci questa informazione nel fascio di piani, puoi semplificare $b$ e ottieni l'equazione del tuo piano.
Per il secondo punto puoi ricavarti il vettore direttore della retta (facile da individuare) [tex]$x=y=z$[/tex] e poi servirti ad esempio di questo
http://progettomatematica.dm.unibo.it/G ... op3.4.html
Penso che puoi procedere così
Il fascio di piani contenenti la retta in questione è facilmente
[tex]$a(3x-y+2z-2)+b(x+2y-z-6)=0$[/tex]
Quindi se vuoi cercare il piano tra questi che passa per l'origine, basta porre [tex]$x=y=z=0$[/tex] e risolvere
[tex]$-2a-6b=0$[/tex] ovvero [tex]$a=-3b$[/tex]
Quindi inserisci questa informazione nel fascio di piani, puoi semplificare $b$ e ottieni l'equazione del tuo piano.
Per il secondo punto puoi ricavarti il vettore direttore della retta (facile da individuare) [tex]$x=y=z$[/tex] e poi servirti ad esempio di questo
http://progettomatematica.dm.unibo.it/G ... op3.4.html
quindi
$r:3x-y+2z-2=x+2y-z-6$ è l'equazione di due piani che si intersecano sulla retta r, che passa per l'origine?
se passasse per il punto P(1,1,1) avrei avuto l'equazione della retta
$3a-a+2a-2+b+2b-b-6=4a+2b-8$ risolvendo a sistema mi trovo $a$ che andando a sostituire nell'equazione del fascio mi da le coordinate
$(-b/2+2)(3x-y+2z-2)+b(x+2y-z-6)=0$ anche qui semplifico per b e ottendo l'eq del piano che contiene r passante per P(1,1,1)
quindi questa equazione è proprio l'equazione della retta di intersezione!
quindi per identificare i parametri direttori della retta devo considerare l'equazione della retta (quella dell'intersezione) [tex]-8x+5y-8z=0[/tex] pongo magari [tex]x=y=z=2[/tex] e ottengo l'equazione con i parametri direttori (coefficenti -8,+5-8) e mi calcolo il rango della matrice
$A((-8,5,-8),(-16,10,-16))$ e sse $r(A)=1$ tale retta è ortogonale altrimenti non lo è
giusto?
Quindi bisogna solo verificare se è ortogonale o meno alla retta x=y=z non individuare il piano che è ortogonale alla retta giusto?
tralasciando i conti...a ragionamento credo fili... attendo conferma... e grazie ^_^[/spoiler]
$r:3x-y+2z-2=x+2y-z-6$ è l'equazione di due piani che si intersecano sulla retta r, che passa per l'origine?
se passasse per il punto P(1,1,1) avrei avuto l'equazione della retta
$3a-a+2a-2+b+2b-b-6=4a+2b-8$ risolvendo a sistema mi trovo $a$ che andando a sostituire nell'equazione del fascio mi da le coordinate
$(-b/2+2)(3x-y+2z-2)+b(x+2y-z-6)=0$ anche qui semplifico per b e ottendo l'eq del piano che contiene r passante per P(1,1,1)
quindi questa equazione è proprio l'equazione della retta di intersezione!
Per il secondo punto puoi ricavarti il vettore direttore della retta (facile da individuare) $x=y=z$ e poi servirti ad esempio di questo
quindi per identificare i parametri direttori della retta devo considerare l'equazione della retta (quella dell'intersezione) [tex]-8x+5y-8z=0[/tex] pongo magari [tex]x=y=z=2[/tex] e ottengo l'equazione con i parametri direttori (coefficenti -8,+5-8) e mi calcolo il rango della matrice
$A((-8,5,-8),(-16,10,-16))$ e sse $r(A)=1$ tale retta è ortogonale altrimenti non lo è
giusto?
Quindi bisogna solo verificare se è ortogonale o meno alla retta x=y=z non individuare il piano che è ortogonale alla retta giusto?
tralasciando i conti...a ragionamento credo fili... attendo conferma... e grazie ^_^[/spoiler]
A dire il vero, non ho capito molto di quello che hai detto.
Quella non è una retta (dovresti mettere =0 alla fine).
Da dove esce poi [tex]$P(1,1,1)$[/tex] ?
Cos'è che vuoi trovare?
Anche qui ho difficoltà a capire cosa vuoi dire.
Il vettore di direzione devi trovarlo, ma riferito alla retta [tex]$x=y=z$[/tex]. Sapresti trovarlo?
$r:3x-y+2z-2=x+2y-z-6$ è l'equazione di due piani che si intersecano sulla retta r, che passa per l'origine?
se passasse per il punto P(1,1,1) avrei avuto l'equazione della retta
Quella non è una retta (dovresti mettere =0 alla fine).
Da dove esce poi [tex]$P(1,1,1)$[/tex] ?
Cos'è che vuoi trovare?
quindi per identificare i parametri direttori della retta devo considerare l'equazione della retta (quella dell'intersezione) [tex]-8x+5y-8z=0[/tex] pongo magari [tex]x=y=z=2[/tex] e ottengo l'equazione con i parametri direttori (coefficenti -8,+5-8) e mi calcolo il rango della matrice
Anche qui ho difficoltà a capire cosa vuoi dire.
Il vettore di direzione devi trovarlo, ma riferito alla retta [tex]$x=y=z$[/tex]. Sapresti trovarlo?
"Steven":
A dire il vero, non ho capito molto di quello che hai detto.
$r:3x-y+2z-2=x+2y-z-6$ è l'equazione di due piani che si intersecano sulla retta r, che passa per l'origine?
se passasse per il punto P(1,1,1) avrei avuto l'equazione della retta
Quella non è una retta (dovresti mettere =0 alla fine).
hai ragione errore di battitura---->$r:3x-y+2z-2=0=x+2y-z-6$
Da dove esce poi [tex]$P(1,1,1)$[/tex] ?<--- Questo è un altro esempio che mi sono inventato per vedere se avevo capito
Cos'è che vuoi trovare?<--La retta che invece passare per l'origine passa per il punto P(1,1,1)
quindi per identificare i parametri direttori della retta devo considerare l'equazione della retta (quella dell'intersezione) [tex]-8x+5y-8z=0[/tex] pongo magari [tex]x=y=z=2[/tex] e ottengo l'equazione con i parametri direttori (coefficenti -8,+5-8) e mi calcolo il rango della matrice
Anche qui ho difficoltà a capire cosa vuoi dire.
Il vettore di direzione devi trovarlo, ma riferito alla retta [tex]$x=y=z$[/tex]. Sapresti trovarlo?
i vettori direzionali pensavo fossero i coefficenti.... quindi no nn saprei trovarlo! :S
Concludiamo l'esercizio che si sta trascinando da troppo tempo.
I suggerimenti di Steven erano risolutivi.
.1 Dalla teoria è ben noto che l'insieme dei piani passanti per la retta $r$ ha equazione
(*) $a(3x-y+2z-2)+b(x+2y-z-6)=0$
Imponendo il passaggio per l'origine si ottiene
$a(0+0+0-2)+b(0+0+0-6)=0$
da cui $-2a-6b=0$, ovvero $a=-3b$.
Sostituendo in (*) e semplificando $b$ si ottiene il piano cercato.
Se cerchiamo il piano che contiene $r$ e passante per $A(1,1,1)$ si impone il passaggio per $A$
$a(3-1+2-2)+b(1+2-1-6)=0$
da cui $2a-4b=0$, ovvero $a=2b$.
Sostituendo in (*) e semplificando $b$ si ottiene il piano cercato.
.2 Innanzitutto troviamo i parametri direttori della retta. Si scrive la retta in forma parametrica ottenendo
${(x=t),(y=t),(z=t):}$
Il vettore direttore è dato dai coefficienti della $t$, ovvero $(1,1,1)$.
Ora si può imporre la condizione di ortogonalità fra il piano (*) e la retta.
$rank((3a+b,-a+2b,2a-b),(1,1,1))=1$
Imponendo tale condizione si ottiene il piano cercato. Se non è possibile farlo, significa che non esiste un piano siffatto.
I suggerimenti di Steven erano risolutivi.
"ansioso":
Sia data in $S_3$ la retta $r=3x-y+2z-2=0=x+2y-z-6$ Trovare l'equazione del piano che contine r e
.1 passa per l'orgine
.2 ortogonale alla retta $x=y=z$
.1 Dalla teoria è ben noto che l'insieme dei piani passanti per la retta $r$ ha equazione
(*) $a(3x-y+2z-2)+b(x+2y-z-6)=0$
Imponendo il passaggio per l'origine si ottiene
$a(0+0+0-2)+b(0+0+0-6)=0$
da cui $-2a-6b=0$, ovvero $a=-3b$.
Sostituendo in (*) e semplificando $b$ si ottiene il piano cercato.
Se cerchiamo il piano che contiene $r$ e passante per $A(1,1,1)$ si impone il passaggio per $A$
$a(3-1+2-2)+b(1+2-1-6)=0$
da cui $2a-4b=0$, ovvero $a=2b$.
Sostituendo in (*) e semplificando $b$ si ottiene il piano cercato.
.2 Innanzitutto troviamo i parametri direttori della retta. Si scrive la retta in forma parametrica ottenendo
${(x=t),(y=t),(z=t):}$
Il vettore direttore è dato dai coefficienti della $t$, ovvero $(1,1,1)$.
Ora si può imporre la condizione di ortogonalità fra il piano (*) e la retta.
$rank((3a+b,-a+2b,2a-b),(1,1,1))=1$
Imponendo tale condizione si ottiene il piano cercato. Se non è possibile farlo, significa che non esiste un piano siffatto.
quindi l'equaione della piano è data da $8x-5y+7z=0$
Per il punto due...
Trovare l'equazione del piano ortogonale alla retta $x=y=z$
Per quanto vedo si è imposta solo una condizione... non è stata trovata nessuna equazione!
in questo caso dato che il rango è due non esiste il piano ortogonale alla retta x=y=z
e se fosse esistita come si fa a determinare quale è questa equazione?
oppure
l'equazione è data da $(3a+b)x+(-a+2b)y+(2a-b)z=0$
Siate pazienti perfavore... è l'ora del rincretimento!
Per il punto due...
Trovare l'equazione del piano ortogonale alla retta $x=y=z$
Per quanto vedo si è imposta solo una condizione... non è stata trovata nessuna equazione!
in questo caso dato che il rango è due non esiste il piano ortogonale alla retta x=y=z
e se fosse esistita come si fa a determinare quale è questa equazione?
oppure
l'equazione è data da $(3a+b)x+(-a+2b)y+(2a-b)z=0$
Siate pazienti perfavore... è l'ora del rincretimento!
"ansioso":
...e se fosse esistita come si fa a determinare quale è questa equazione?
Imponendo appunto la condizione sul rango della matrice.
Per esempio prova a calcolare con questo metodo il piano passante per l'asse $x$ e perpendicolare all'asse $z$.
sarebbe bello se sapessi come farlo.... :\
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