Banale esercizio di geometria
Data la parabola $y=x^2+2x+1$ trovare le coordinate del vertice e l'equzione dell'asse di simmetria
allora la formula del vertice in mio possesso è questa $V=(-b/(2a),(4ac-b^2)/2)=(-2/2,(4-4)/4)=(-1,0)$ <- vertice
e quella dell'asse di simmetria ovvero della direttrice $x+c=0$ dove sostituendo a c il valore 1 si ha $x+1=0$ <- eq direttrice
giusto così l'esercizio?basta applicare queste due formule mi pare
allora la formula del vertice in mio possesso è questa $V=(-b/(2a),(4ac-b^2)/2)=(-2/2,(4-4)/4)=(-1,0)$ <- vertice
e quella dell'asse di simmetria ovvero della direttrice $x+c=0$ dove sostituendo a c il valore 1 si ha $x+1=0$ <- eq direttrice
giusto così l'esercizio?basta applicare queste due formule mi pare
Risposte
La tecnica è sempre la stessa: scrivi il fascio di piani passanti per l'asse $x$, calcola i parametri direttori dell'asse $z$ e imponi l'ortogonalità.
correggimi se sbaglio... l'equazione generica di un piano che passa per (ovvero che contiene) l'asse x è data da
yb+zc=0 giusto?
yb+zc=0 giusto?
Giusto. Dove $b$ e $c$ sono i parametri su cui devi imporre la condizione di ortogonalità del piano con l'asse $z$.
se $yb+zc=0$ è l'equazione del piano passante per l'asse x allora i parametri direttori saranno $\{(x=0),(y=b+t),(z=c+t):}$
e andando a imporre la condizione di ortogonalità avrò
$r(A)=((0,b,c),(1,1,1))=2$
credo di non aver capito... cirasa mi fai tu l'esempio perfavore?
e andando a imporre la condizione di ortogonalità avrò
$r(A)=((0,b,c),(1,1,1))=2$
credo di non aver capito... cirasa mi fai tu l'esempio perfavore?
Scusami se ti rispondo un po' in ritardo.
Prima abbiamo calcolato i parametri direttori della retta (e non del piano...non ha senso parlare di parametri direttori di un piano!)
In questo caso dobbiamo calcolare i parametri direttori dell'asse $z$ che si può scrivere in forma parametrica come
${(x=0),(y=0),(z=t):}$
Quindi i parametri direttori dell'asse $z$ sono $(0,0,1)$ (come ho detto prima sono i coefficienti della $t$).
Dobbiamo ora imporre la condizione di ortogonalità ovvero la condizione
$rank((0,b,c),(0,0,1))=1$
Cosa si ottiene?
P.S. Sapere le equazione di un fascio di piani (proprio e improprio) e le equazioni degli assi, saper calcolare i parametri direttori di una retta sono molto molto importanti. Cerca di studiarli per bene!
Prima abbiamo calcolato i parametri direttori della retta (e non del piano...non ha senso parlare di parametri direttori di un piano!)
In questo caso dobbiamo calcolare i parametri direttori dell'asse $z$ che si può scrivere in forma parametrica come
${(x=0),(y=0),(z=t):}$
Quindi i parametri direttori dell'asse $z$ sono $(0,0,1)$ (come ho detto prima sono i coefficienti della $t$).
Dobbiamo ora imporre la condizione di ortogonalità ovvero la condizione
$rank((0,b,c),(0,0,1))=1$
Cosa si ottiene?
P.S. Sapere le equazione di un fascio di piani (proprio e improprio) e le equazioni degli assi, saper calcolare i parametri direttori di una retta sono molto molto importanti. Cerca di studiarli per bene!
l'eq del fascio di piani
$\alpha(ax+by+cz+d)+\beta(ax'+by'+cz'+d')=0$
sarà proprio o improrio se i piani si intersecano o meno giusto?
le eq degli assi a cosa ti riferisci?
cioè un piano parello all'asse y ha espressione del tipo $ax+cz=0$
e saper calcolare i parametri direttori di una retta....
per lo spazio a due dimensioni non è problema per quello a tre non so come fare... sul libro non è molto chiaro! hai percaso del materiale che può fare al caso mio?
domani ho l'esame orale
$\alpha(ax+by+cz+d)+\beta(ax'+by'+cz'+d')=0$
sarà proprio o improrio se i piani si intersecano o meno giusto?
le eq degli assi a cosa ti riferisci?
cioè un piano parello all'asse y ha espressione del tipo $ax+cz=0$
e saper calcolare i parametri direttori di una retta....
per lo spazio a due dimensioni non è problema per quello a tre non so come fare... sul libro non è molto chiaro! hai percaso del materiale che può fare al caso mio?
domani ho l'esame orale
"ansioso":
l'eq del fascio di piani
$\alpha(ax+by+cz+d)+\beta(ax'+by'+cz'+d')=0$
sarà proprio o improrio se i piani si intersecano o meno giusto?
Sostanzialmente sì.
"ansioso":
le eq degli assi a cosa ti riferisci?
cioè un piano parello all'asse y ha espressione del tipo $ax+cz=0$
Per asse intendevo asse cartesiano, quelli che congiungono l'origine con le direzioni $x$, $y$ o $z$.
L'equazione dell'asse $x$ per esempio è
${(y=0),(z=0):}$
o in forma parametrica
${(x=t),(y=0),(z=0):}$
"ansioso":Se hai una retta espressa come intersezione di due piani, in sostanza si tratta di risolvere il sistema formato dalle due equazioni dei piani, risolvendo rispetto ad una delle tre variabili.
e saper calcolare i parametri direttori di una retta....
per lo spazio a due dimensioni non è problema per quello a tre non so come fare... sul libro non è molto chiaro! hai percaso del materiale che può fare al caso mio?
Prova a fare una ricerca sul forum (tasto "cerca" in alto) per avere maggiori informazioni. Se ne è parlato varie volte.
capito quindi si risolvere il sistema e si ottiene un sistema di incognite dove il terza incognita viene parametrizzato z=t ad esempoi
Esatto, naturalmente non sempre è possibile porre la $z$ come parametro...
si il mio era un esempio...quindi diciamo che adesso il grosso lo so? XD ci sono altre nozioni che dovrei sapere secondo te prima di andare a fare l'esame orale?
"ansioso":[/quote]
...e se fosse esistita come si fa a determinare quale è questa equazione?
[quote="cirasa"]
Imponendo appunto la condizione sul rango della matrice.
Per esempio prova a calcolare con questo metodo il piano passante per l'asse
"cirasa":
Dobbiamo ora imporre la condizione di ortogonalità ovvero la condizione
$rank((0,b,c),(0,0,1))=1$
Cosa si ottiene?
si ottiene che $2!=1$ quindi non è ortogonale?
cirasa se hai tempo dai una controllata qui?
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#428021
ho provato a fare questo ese... adesso aspetto il tuo giudizio!
ovviamente se hai tempo
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#428021
ho provato a fare questo ese... adesso aspetto il tuo giudizio!
ovviamente se hai tempo
Mi spiace risponderti sempre in ritardo...
si ottiene che $2!=1$ quindi non è ortogonale?[/quote]
Beh, il rango di quella matrice dipende dai parametri $b,c$ (che non possono essere entrambi nulli).
Esso è sempre almeno $1$.
Se $b!=0$ il rango diventa $2$.
Quindi quella matrice ha rango $1$ se $b=0$.
Pertanto il piano cercato ha equazione $by+cz=0$ a cui dobbiamo aggiungere la condizione $b=0$.
Si ottiene così il piano $z=0$ (ho semplificato $c$), ovvero il piano $xy$.
Per quanto riguarda l'altro post, ho visto che hai ricevuto risposta.
Se ci sono ancora problemi, chiedi pure. Spero di risponderti in tempo.
"ansioso":
[quote="cirasa"]
Dobbiamo ora imporre la condizione di ortogonalità ovvero la condizione
$rank((0,b,c),(0,0,1))=1$
Cosa si ottiene?
si ottiene che $2!=1$ quindi non è ortogonale?[/quote]
Beh, il rango di quella matrice dipende dai parametri $b,c$ (che non possono essere entrambi nulli).
Esso è sempre almeno $1$.
Se $b!=0$ il rango diventa $2$.
Quindi quella matrice ha rango $1$ se $b=0$.
Pertanto il piano cercato ha equazione $by+cz=0$ a cui dobbiamo aggiungere la condizione $b=0$.
Si ottiene così il piano $z=0$ (ho semplificato $c$), ovvero il piano $xy$.
Per quanto riguarda l'altro post, ho visto che hai ricevuto risposta.
Se ci sono ancora problemi, chiedi pure. Spero di risponderti in tempo.
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