Banale esercizio di algebra lineare...

[saverio6]

premetto che non sono un "genio" in matematica e le materie scientifiche...

vi sottopongo il seguente esercizio che avevo nello scritto e la mia (personale...) soluzione:


Studiare il sistema reale (col sistema delle matrici incomplete e complete, vedendo le condizioni per cui il parametro a ha una, nessuna e infinite soluzioni)

x + y + z = 1
ax + y + z = 1
ax + a^2y + z = 1
ax + a^2y + a^3z = 1

MIA SOLUZIONE

sottraggo la 2a dalla 1a equazione in modo da avere un sistema che mi permette di fare una bella matricina quadrata 3*3 e studiare quella...

(1-a)x = 0
ax + a^2y + z = 1
ax + a^2y + a^3z = 1

è giusto? il sistema studiato è equivalente all'originale? potevo procedere anche così?

vi prego di rispondermi perchè domani avrei l'orale e vorrei sapere quante chances ho di passare...

GRAZIE IN ANTICIPO!

saverio

[Sk_Anonymous]

Non puoi sostituire due equazioni con una sola (sarebbe
troppo comodo!)Come suggerisce anche il testo,siccome hai
un sistema a 3 incognite e 4 equazioni la compatibilita'
si puo' avere eventualmente solo se il determinante della matrice completa e' nulla.Dai miei calcoli,ma e' bene che tu li rifaccia,trovo che tale det. e':
det(matrice_completa)=(1-a)^3*(1+a)*(1+a+a^2)
Esso si annulla quindi per a=1 e a=-1.
Allora:
1) Per a=1 il sistema si riduce all'unica equazione
x+y+z=1 e vi sono infinite soluzioni (precisamente una infinita
doppia) date da:x=1-k-h,y=k,z=h con k ed h variabili in R.
2)Per a=-1 si ha il sistema :
[x+y+z=1;-x+y+z=1;-x+y-z=1] che la sola soluzione (x=0,y=1,z=0)
3) Per a<>1 ed a<>-1 nessuna soluzione perche' la matrice completa
e quella incompleta non hanno la stessa caratteristica
(e precisamenye quella completa ha caratt.=4 e l'altra necessariamente minore di 4).
[il simbolo "<>" vuol dire "diverso"]
Ciao.

[saverio6]

sospettavo una cosa del genere... allora ho toppato l'esercizio.
comunque ti ringrazio per l'aiuto!

ciao

saverio