Banach, span e chiusura

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Salve,

mi servirebbe sapere se è vero che:

Sia $ A $ un "sottoinsieme" di uno spazio di Banach infinito dimensionale

$ bar(span(A))=span(bar(A)) $

dove con $ bar(A) $ intendo la chiusura di $ A $


grazie

[elvis3]

Nello spazio \(\ell_2\), considera la base di Hilbert \(A = \{e_k\}_{k \in \mathbb{N}}\) costituita dalla successioni \(e_k(n) = \delta_{kn}\).
L'insieme \(A\) è chiuso in \(\ell_2\) non avendo punti di accumulazione, e \(\mathrm{span}\,A\) è il sottospazio delle successioni definitivamente nulle. Ma \(\overline{\mathrm{span}}\,A = \ell_2\).

P.S. In realtà l'argomento di sopra funziona in ogni spazio \(\ell_p\) con \(1 \leq p < + \infty\). Inoltre, con lo stesso trucchetto, dovresti riuscire a dimostrare che in ogni spazio di Banach separabile c'è un sottoinsieme \(A\) tale che \(\mathrm{span}\,\overline{A} \neq \overline{\mathrm{span}} \, A\).

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ok elvis, grazie
ho capito che in generale la cosa non è vera per cui ti pongo il mio specifico quesito:
tutti punti di $ A $ sono di accumulazione e $ A $ ha cardinalità $ aleph1 $
ecco in questo caso si può affermare che sussiste l'uguaglianza?
Grazie

[elvis3]

Dato \(A\) come nel mio esempio, mi sembra che il cono sopra di esso (cioè \(\mathbb{R} A\)) abbia la cardinalità del continuo, sia chiuso senza punti isolati e tale che \(\overline{\mathrm{span}} \, A \neq \mathrm{span} \, A\) per lo stesso motivo di sopra.

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ok elvis ho capito, a questo punto a meno di una specifica dimostrazione del mio caso, non posso permettermi di assumere vera l'uguaglianza. sei stato davvero gentile.

[elvis3]

È un piacere Ciao