Azioni di gruppo e spazi affini
Ho letto una definizione di spazio affine che pare interessante:
uno spazio affine è un insieme $A$ su cui agisce fedelmente e transitivamente uno spazio vettoriale $V$.
Purtroppo è da un po' che non rivedo la teoria dei gruppi, quindi mi farebbe comodo una mano: se non ricordo male, una azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$ è un omomorfismo $rho:G\to"Sym"(X)$, dove $"Sym"(X)$ è il gruppo delle trasformazioni invertibili di X su X. Come posso estendere questo fatto ad uno spazio vettoriale?
uno spazio affine è un insieme $A$ su cui agisce fedelmente e transitivamente uno spazio vettoriale $V$.
Purtroppo è da un po' che non rivedo la teoria dei gruppi, quindi mi farebbe comodo una mano: se non ricordo male, una azione di un gruppo $G$ su un insieme $X$ è un omomorfismo $rho:G\to"Sym"(X)$, dove $"Sym"(X)$ è il gruppo delle trasformazioni invertibili di X su X. Come posso estendere questo fatto ad uno spazio vettoriale?
Risposte
Sono andato un po' avanti con la lettura, adesso penso di avere iniziato a capire: la struttura di spazio vettoriale non c'entra granché, c'entra solo quella di gruppo additivo. Difatti noi parliamo di cose come $P+v$, ovvero azioni di $V$ con la somma; non di ipotetici $lambdaP$, ovvero prodotti per uno scalare.
Ora però mi piacerebbe chiarire alcune cose. Prendiamo un insieme $A$ (di punti) e uno spazio vettoriale $V$, definiamo una applicazione $AtimesV\toV, (P, v)\mapstoP+v$ verificante tutti gli assiomi soliti di spazio affine. Questa è in effetti una azione del gruppo $(V, +)$ su $A$, e salta fuori che questa azione è fedele e transitiva. (uso queste definizioni: una azione del gruppo $G$ sull'insieme $X$ è fedele se il corrispondente omomorfismo è iniettivo; è transitiva se origina una sola orbita).
Però questa azione verifica delle proprietà che io non credo proprio essere di carattere generale. La prima è questa dato un punto $P$ e un vettore $v$, risulta che se $P+v=P+w$, allora $w=v$. Tutte le azioni -fedeli e transitive- di gruppo verificano questa proprietà?
Ora però mi piacerebbe chiarire alcune cose. Prendiamo un insieme $A$ (di punti) e uno spazio vettoriale $V$, definiamo una applicazione $AtimesV\toV, (P, v)\mapstoP+v$ verificante tutti gli assiomi soliti di spazio affine. Questa è in effetti una azione del gruppo $(V, +)$ su $A$, e salta fuori che questa azione è fedele e transitiva. (uso queste definizioni: una azione del gruppo $G$ sull'insieme $X$ è fedele se il corrispondente omomorfismo è iniettivo; è transitiva se origina una sola orbita).
Però questa azione verifica delle proprietà che io non credo proprio essere di carattere generale. La prima è questa dato un punto $P$ e un vettore $v$, risulta che se $P+v=P+w$, allora $w=v$. Tutte le azioni -fedeli e transitive- di gruppo verificano questa proprietà?
dopo l'ultima volta che ho risposto che ho creato solo confuzione, questa volta cadi nel mio terreno ( 
), sperando di essere chiaro provo a dare una risposta:
leggendo in risposta al primo post tuo:una sottigliezza: il codominio dell'azione è l'insieme, non lo spazio vettoriale che ci agisce sopra. Infatti un $G-insieme$ è definizto come $GxX->X$ con le varie proprietà..
beh guarda la dimostrazione a questo fatto: se $X$ è lo spazio affine allora, come hai detto te, la mappa $VxX->X$ è fedele e transitiva (la definizione che usi te).
Nota che se $X$ è uno spazio affine, allora esiste un'unica funzione $XxX->V$ tc $(A,B)->B-A=bar(AB)$ con le seguenti proprietà:
1) $AA A\in X,AA v \in V$, $EE! B\in X$ tc $bar(AB)=v$
2) $AA A,B,C\in X,bar(AB)+bar(BC)=bar(AC)
(se leggi il Nacinovich lui usa quest'ultima come definizione di spazio affine)
te praticamente vuoi dimostrare usando la tua definizione la proprietà 1).
Infatti abbiamo che $XxV->X$ tc $(v,A)->A+v=B$. per assurdo esiste $v!=w\in V$ tali che $A+v=B,A+w=B$.
possiamo scrivere la seguente cosa:
$v-w+A=B-w=A=>v-w+A=A$. Quindi $v-w$ fissa $A$, bisogna mostrare che $v-w$ fissa ogni altro punto $P\in X$ (essendo l'azione transitiva). Sia dunque $P=A+z$ allora $v-w+P=v-w+A+z=$ per quanto scritto mezza riga fa $=A+z=P$.
Cioè $P=v-w+P$ essendo l'azione fedele concludi che $v-w=0$.
(al punto 1) ci si arriva usando il fatto che essendo univocamente det. la tripletta $A+v=B$, ha senso scrivere questa ugualianza e poni $v=bar(AB)$.)
Notare che puoi farci anche la moltiplicazione per uno scalare essendo che sta ancora dentro $V$ l'oggetto $lambda v$. Penso che la regola possa andare bene per un qualsiari gruppo abeliano che agisca su $X$, però per aver la possibilità di chiamare vettori affini e rette affini e tutti gli altri oggetti hai bisogno di uno spazio vettoriale che agisce.
per il secondo: Ricorda che uno spazio vettoriale è più di un gruppo, è un $K-mod$ dove $K$ è il campo dei coefficienti. L'azione su $X$ come proprietà è la stessa, in che senso estendere questo fatto a uno spazio vettoriale?
), sperando di essere chiaro provo a dare una risposta:leggendo in risposta al primo post tuo:una sottigliezza: il codominio dell'azione è l'insieme, non lo spazio vettoriale che ci agisce sopra. Infatti un $G-insieme$ è definizto come $GxX->X$ con le varie proprietà..
beh guarda la dimostrazione a questo fatto: se $X$ è lo spazio affine allora, come hai detto te, la mappa $VxX->X$ è fedele e transitiva (la definizione che usi te).
Nota che se $X$ è uno spazio affine, allora esiste un'unica funzione $XxX->V$ tc $(A,B)->B-A=bar(AB)$ con le seguenti proprietà:
1) $AA A\in X,AA v \in V$, $EE! B\in X$ tc $bar(AB)=v$
2) $AA A,B,C\in X,bar(AB)+bar(BC)=bar(AC)
(se leggi il Nacinovich lui usa quest'ultima come definizione di spazio affine)
te praticamente vuoi dimostrare usando la tua definizione la proprietà 1).
Infatti abbiamo che $XxV->X$ tc $(v,A)->A+v=B$. per assurdo esiste $v!=w\in V$ tali che $A+v=B,A+w=B$.
possiamo scrivere la seguente cosa:
$v-w+A=B-w=A=>v-w+A=A$. Quindi $v-w$ fissa $A$, bisogna mostrare che $v-w$ fissa ogni altro punto $P\in X$ (essendo l'azione transitiva). Sia dunque $P=A+z$ allora $v-w+P=v-w+A+z=$ per quanto scritto mezza riga fa $=A+z=P$.
Cioè $P=v-w+P$ essendo l'azione fedele concludi che $v-w=0$.
(al punto 1) ci si arriva usando il fatto che essendo univocamente det. la tripletta $A+v=B$, ha senso scrivere questa ugualianza e poni $v=bar(AB)$.)
Notare che puoi farci anche la moltiplicazione per uno scalare essendo che sta ancora dentro $V$ l'oggetto $lambda v$. Penso che la regola possa andare bene per un qualsiari gruppo abeliano che agisca su $X$, però per aver la possibilità di chiamare vettori affini e rette affini e tutti gli altri oggetti hai bisogno di uno spazio vettoriale che agisce.
per il secondo: Ricorda che uno spazio vettoriale è più di un gruppo, è un $K-mod$ dove $K$ è il campo dei coefficienti. L'azione su $X$ come proprietà è la stessa, in che senso estendere questo fatto a uno spazio vettoriale?
Sono d'accordo con fu^2: se un gruppo abeliano agisce in modo fedele e transitivo allora gli stabilizzatori sono ridotti a 1.
Se togliamo l'ipotesi "abeliano" però questo non è più vero: per esempio $GL(3,2)$ (il gruppo delle matrici invertibili $3 xx 3$ a coefficienti in $F_2$) agisce fedelmente e transitivamente su $F_2^3-{0}$ (tramite l'azione ovvia $(g,v) to g(v)$) ma gli stabilizzatori non sono banali: per esempio lo stabilizzatore di $e_1=((1),(0),(0))$ è l'insieme delle matrici invertibili la cui prima colonna è $e_1$ (quindi ha ben più di un elemento).
@dissonance: che altre definizioni conosci di spazio affine? Io conosco solo quella da te riportata (nell'ambito dell'algebra lineare: per esempio in geometria algebrica la definizione è diversa).
Se togliamo l'ipotesi "abeliano" però questo non è più vero: per esempio $GL(3,2)$ (il gruppo delle matrici invertibili $3 xx 3$ a coefficienti in $F_2$) agisce fedelmente e transitivamente su $F_2^3-{0}$ (tramite l'azione ovvia $(g,v) to g(v)$) ma gli stabilizzatori non sono banali: per esempio lo stabilizzatore di $e_1=((1),(0),(0))$ è l'insieme delle matrici invertibili la cui prima colonna è $e_1$ (quindi ha ben più di un elemento).
@dissonance: che altre definizioni conosci di spazio affine? Io conosco solo quella da te riportata (nell'ambito dell'algebra lineare: per esempio in geometria algebrica la definizione è diversa).
"Martino":
se un gruppo abeliano agisce in modo fedele e transitivo allora gli stabilizzatori sono ridotti a 1.
Ed era proprio questa la mia domanda, solo che non riuscivo a formalizzarla bene
. Dire che "gli stabilizzatori sono ridotti ad 1" in termini più espliciti significa dire che se un elemento del gruppo lascia fermo un punto, allora quell'elemento è 1. Di questo fatto, vero negli spazi affini (che, in risposta a Martino, io avevo sempre considerato con la definizione a cui ha fatto riferimento anche fu^2) pensavo fosse vero in generale, per tutte le azioni fedeli e transitive. E invece serviva anche che il gruppo fosse abeliano.
E se facciamo cadere l'ipotesi della transitività, che succede?
che non puoi estendere il passaggio ad ogni $P$ nell'insieme nella dimostrazione, ma tutto si riduce alla singola orbita in cui lavori.
Grazie alla transivitività puoi collegare tutti i punti con vettori dello spazio vettoriale, se non fosse transitivo questo non lo potresti fare ovunque, ma solo in un orbita.
Edit: nota che puoi benissimo dire che un insieme è transitivo sotto l'azione di V se esiste un'unica orbita.
Grazie alla transivitività puoi collegare tutti i punti con vettori dello spazio vettoriale, se non fosse transitivo questo non lo potresti fare ovunque, ma solo in un orbita.
Edit: nota che puoi benissimo dire che un insieme è transitivo sotto l'azione di V se esiste un'unica orbita.
Beh, se l'azione non è transitiva credo che ci si possa aspettare di tutto. Per esempio prendiamo un gruppo $G$ senza centro (per esempio $A_4$). Allora l'azione di $G$ su se stesso per coniugio è fedele (il nucleo è proprio il centro) ma non necessariamente transitiva (è il caso di $A_4$, dato che per esempio il coniugato di un $k$-ciclo è ancora un $k$-ciclo). Gli stabilizzatori sono i centralizzanti, e quindi non sono tutti $1$ dato che se $1 ne g in G$ allora $g$ appartiene al suo centralizzante.
Rettifico: mi ero dimenticato l'ipotesi "abeliano". Allora considero un caso più generale: se $G$ è un gruppo (p. es. abeliano) allora posso prendere un oggetto ausiliario $x$ fuori da $G$, considerare $X=G cup {x}$ e dire che $G$ agisce su $X$ per moltiplicazione a sinistra sugli elementi di $G$ e lasciando fermo $x$. Naturalmente questa azione è fedele e lo stabilizzatore di $x$ è $G$. Coerentemente con quanto detto non c'è transitività in questo caso perché l'orbita di $x$ è ${x}$.
Certo. Ed in effetti mi sto rendendo conto che non stiamo facendo altro che generalizzare la legge di cancellazione. Perché dire che gli stabilizzatori sono ridotti a $1$ significa dire che se $gx=hx$ (anche per un solo $x$) allora $g=h$. E se l'azione non è transitiva, non è vero per niente: ragionando come nell'ultimo esempio di Martino, possiamo fare agire (per esempio) $((0, infty), *)$ su tutti i reali - e non è mica vero che ($1*0=2*0 =>1=2$).
"dissonance":
possiamo fare agire (per esempio) $((0, infty), *)$ su tutti i reali - e non è mica vero che ($1*0=2*0 =>1=2$).
Giusto, così è più immediato.
PS. Volevo solo dire che la definizione tua e quella di fu^2 sono equivalenti, per questo non le avevo mai distinte
"Martino":
la definizione tua e quella di fu^2 sono equivalenti
beh si ormai mi è chiaro.
Per la cronaca, mi erano venuti dei dubbi perché leggendo il famoso pdf di M.Cailotto ( http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ78pp.pdf ) vedo che lui classifica la proprietà degli spazi affini
$P+v=P iff v=0$
chiamandola fedeltà dell'azione di V su A.
Alla luce di questa discussione, vediamo che non è proprio la stessa cosa del richiedere che un'azione di gruppo sia fedele, lo diventa se il gruppo è abeliano e l'azione è transitiva. Questo lo dico nel caso a qualcuno venga lo stesso dubbio.
P.S.: Giusto per curiosità, qual'è l'altra definizione di spazio affine (quella della geometria algebrica)?
"dissonance":
lui classifica la proprietà degli spazi affini
$P+v=P iff v=0$
chiamandola fedeltà dell'azione di V su A.
Alla luce di questa discussione, vediamo che non è proprio la stessa cosa del richiedere che un'azione di gruppo sia fedele, lo diventa se il gruppo è abeliano e l'azione è transitiva.
E' vero, non l'avevo rimarcato!
P.S.: Giusto per curiosità, qual'è l'altra definizione di spazio affine (quella della geometria algebrica)?
$A_k^n = Spec(k[x_1,...,x_n])$, l'insieme degli ideali primi dell'anello di polinomi $k[x_1,...,x_n]$.
Aaaaahhh... adesso sto capendo alcune cose... Tempo fa proponesti un esercizio topo-algebrico, che forniva una caratterizzazione dell'insieme degli ideali massimali di $C(X\toRR)$ (sotto certe ipotesi topologiche su $X$). Sicuramente te lo ricordi. All'epoca citavi a raffica il fatto che gli ideali primi si potessero pensare come punti, cosa che io trovavo assolutamente misteriosa (:-D). E adesso capisco, o meglio inizio a intuire lontanamente, il perché.
In effetti mi pareva di averne già parlato in quell'occasione
Comunque se ci pensi non è una definizione così esotica: per esempio i "punti" di $CC$ (visto come spazio metrico nel solito modo) corrispondono canonicamente agli ideali massimali di $CC[X]$ ($alpha in CC$ corrisponde a $(x-alpha)$). La sola differenza con $CC$ visto come spazio affine è che in $A_{CC}^1=Spec(CC[X])$ c'è un punto aggiuntivo (l'ideale nullo: l'unico primo non massimale) che disastra il tutto perché è pure denso
Comunque se ci pensi non è una definizione così esotica: per esempio i "punti" di $CC$ (visto come spazio metrico nel solito modo) corrispondono canonicamente agli ideali massimali di $CC[X]$ ($alpha in CC$ corrisponde a $(x-alpha)$). La sola differenza con $CC$ visto come spazio affine è che in $A_{CC}^1=Spec(CC[X])$ c'è un punto aggiuntivo (l'ideale nullo: l'unico primo non massimale) che disastra il tutto perché è pure denso
Certo! Adesso mi spiego perché tanto interesse per gli ideali primi. Tuttavia ci sono due cosette che non mi sono chiare, la prima è questa:
La topologia di $A_CC^1$ sarà certamente quella di Zariski (finalmente capisco da dove saltava fuori!), a cui tu stesso mi hai introdotto tempo fa: ora se ho capito bene i chiusi sono tutti e soli i $V(I)={p\ "ideale primo"\ |\ I\subp}$, al variare di $I$ negli ideali di $CC[x]$.
Quando $I$ è un ideale primo, $V(I)$ diventa esattamente la sua chiusura (giusto? mi pare sia vero). Ovviamente $V(\ (0)\ )$ è tutto lo spazio perché ogni ideale (e quindi ogni ideale primo) contiene $(0)$. E perciò è successo il patatrac di un punto denso, cosa che in uno spazio euclideo non esiste assolutamente. Tra l'altro vedo che questa topologia non è nemmeno T1...
Ma allora perché non escludere l'ideale nullo, se crea tutti questi problemi?
La topologia di $A_CC^1$ sarà certamente quella di Zariski (finalmente capisco da dove saltava fuori!), a cui tu stesso mi hai introdotto tempo fa: ora se ho capito bene i chiusi sono tutti e soli i $V(I)={p\ "ideale primo"\ |\ I\subp}$, al variare di $I$ negli ideali di $CC[x]$.
Quando $I$ è un ideale primo, $V(I)$ diventa esattamente la sua chiusura (giusto? mi pare sia vero). Ovviamente $V(\ (0)\ )$ è tutto lo spazio perché ogni ideale (e quindi ogni ideale primo) contiene $(0)$. E perciò è successo il patatrac di un punto denso, cosa che in uno spazio euclideo non esiste assolutamente. Tra l'altro vedo che questa topologia non è nemmeno T1...
Ma allora perché non escludere l'ideale nullo, se crea tutti questi problemi?
"dissonance":
Ma allora perché non escludere l'ideale nullo, se crea tutti questi problemi?
Ho usato prima l'espressione "disastra tutto" ma non lo intendevo in senso letterale: uno spazio topologico con punti densi è di tutto rispetto, è solo che magari uno è abituato agli spazi metrici e allora inorridisce. Studiare gli spazi del tipo $Spec(A)$ è interessante, perché porre limitazioni?
Hai ragione. E poi, andando per analogia con gli spazi affini e proiettivi che conosco, ho la mezza idea che togliere l'ideale nullo sia qualcosa di pertinenza dello spazio proiettivo. Come si definisce lo spazio proiettivo in questo contesto? Forse mediante gli ideali omogenei (che ricordo lontanamente essere gli ideali generati da polinomi omogenei)?
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