Azione di gruppo su $C\\{0}$
Si consideri lo spazio topologico $X =C\\{0}$ munito della topologia euclidea e si consideri l’omeomorfismo $g:X->X$ dato da $z->2z$. Sia $G$ il sottogruppo del gruppo degli omeomorfismi di $X$ generato da $g$. Si consideri lo spazio topologico quoziente $Y=X//G$.
$Y$ è compatto?
$Y$ è T2?
$Y$ è omotopicamente equivalente a $S^1$? E alla bottiglia di Klein?
Intanto identifichiamo $CC$ con $RR^2$. Avevo pensato di considerare la corona di quadrati $Q={(x,y)inRR^2|1/2<=max{|x|,|y|}<=1}$, abbiamo che $Q$ è compatto e la proiezione al quoziente ristretta a $Q$ è suriettiva per cui $Y$ è compatto. Poi consideriamo l'aperto T2 $A_{epsilon}={(x,y)inRR^2|1/2-epsilon
e quindi non è omotopicamente equivalente ne a $S^1$ ne alla bottiglia di Klein poichè hanno gruppi fondamentali diversi.
Non so se sia giusto se qualcuno mi sa dire, grazie.
$Y$ è compatto?
$Y$ è T2?
$Y$ è omotopicamente equivalente a $S^1$? E alla bottiglia di Klein?
Intanto identifichiamo $CC$ con $RR^2$. Avevo pensato di considerare la corona di quadrati $Q={(x,y)inRR^2|1/2<=max{|x|,|y|}<=1}$, abbiamo che $Q$ è compatto e la proiezione al quoziente ristretta a $Q$ è suriettiva per cui $Y$ è compatto. Poi consideriamo l'aperto T2 $A_{epsilon}={(x,y)inRR^2|1/2-epsilon
e quindi non è omotopicamente equivalente ne a $S^1$ ne alla bottiglia di Klein poichè hanno gruppi fondamentali diversi.
Non so se sia giusto se qualcuno mi sa dire, grazie.
Risposte
Perché dei quadrati? Mi sembrerebbe più semplice ragionare in termini di dischi.
Possiamo tuttavia fare uso di qualche omeomorfismo per semplificare i nostri ragionamenti. Un primo passaggio potrebbe essere quello di passare alle coordinate polari \(X \cong \mathbb R^+ \times S^1\) a cui applichiamo l'omeomorfismo \(\log_2 \times 1_{S^1} \colon \mathbb R^+ \times S^1 \to \mathbb R \times S^1\). In questo spazio la tua azione corrisponde alla solita azione di \(\mathbb Z\) su \(\mathbb R\) limitata al primo componente del prodotto. Abbiamo quindi che \(X/{\sim} \cong S^1 \times S^1\) che è il toro. Questo ci dice anche che è T2.
Possiamo tuttavia fare uso di qualche omeomorfismo per semplificare i nostri ragionamenti. Un primo passaggio potrebbe essere quello di passare alle coordinate polari \(X \cong \mathbb R^+ \times S^1\) a cui applichiamo l'omeomorfismo \(\log_2 \times 1_{S^1} \colon \mathbb R^+ \times S^1 \to \mathbb R \times S^1\). In questo spazio la tua azione corrisponde alla solita azione di \(\mathbb Z\) su \(\mathbb R\) limitata al primo componente del prodotto. Abbiamo quindi che \(X/{\sim} \cong S^1 \times S^1\) che è il toro. Questo ci dice anche che è T2.
Ah tu dici di usare effettivamente il passaggio alle coordinate polari che da un $C^k-diffeomorfismo$, però non so se lo posso usare dato che questo l'ho fatto ad analisi e non in topologia però spero possa andare bene. Per la robba dei cerchi non so perchè ma mi trovato meglio coi quadrati dato che mi intrippavo a trovare un insieme di rappresentanti coi cerchi, mi sapresti dire? grazie.
Qualcosa come
\[ Q = \{ z \in \mathbb C \mid 1/2 \leq |z| \leq 1 \} \]
dovrebbe funzionare. Non esistono confini sui corsi.. Se conosci una funzione da una parte non c'è alcuna ragione per cui tu non la possa usare dall'altra. Nel peggiore dei casi ne scrivi la definizione esplicitamente. Ma per la forma polare di un numero complesso non credo sia necessario.
\[ Q = \{ z \in \mathbb C \mid 1/2 \leq |z| \leq 1 \} \]
dovrebbe funzionare. Non esistono confini sui corsi.. Se conosci una funzione da una parte non c'è alcuna ragione per cui tu non la possa usare dall'altra. Nel peggiore dei casi ne scrivi la definizione esplicitamente. Ma per la forma polare di un numero complesso non credo sia necessario.
Che poi se riprendi la corona di quadrati nel disegno, ovvero $ Q={(x,y)inRR^2|1<=max{|x|,|y|}<=2} $ con le relazione di equivalenza e usi come omeomorfismo $((log_2(max{|x|,|y|})x)/2,(log_2(max{|x|,|y|})y)/2)$ ti viene proprio il quadrato $[0,1]^2$ con le stesse relazioni definite sul toro. Comunque in un altro forum avevo fatto la tua stessa funzione è solo che non me lo ricordavo XD. Questo è il link https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 7&t=227898
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