Azione di gruppo
Esercizio
Sia $A={z in CC : 1<|z|<2}$ si consideri l'azione di $ZZ_2$ su A t.c. manda z->-z.
(i) Si mostri che l'azione è propriamente discontinua
(ii) Si determini il gruppo fondamentale di A e di $A/ZZ_2$
(iii) Quali tra questi 4 spazi sono omeomorfi A, $A/ZZ_2$, $S^1xRR$, $P^2(RR)$
Scrivo quello che soi:
(i) Ora se $ZZ_2$ agisce tramite azione, questa è propriamente discontinua perchè $ZZ_2$ è finito e A è un Hausdorff.
(ii) in entrambi in casi sono molto incerta:
Faccio prima un piccolo inciso:
In generale corregetemi se sbaglio se A fosse semplicemente e G agisce su A allora $pi_1(A)={e}$ e $pi_1(A/G)=G$
In questo caso A non è semplicemente connesso DOVREBBE essere un retratto di deformmazione di $S^1$ quindi ha gruppo fondamentale $ZZ$, IN QUESTO CASO IL QUOZIENTE NON SO COSA sia...
Sicuramente dovro usare il fatto dell'azione propriamente discontinua......
(iii) dato che il punto due è incerto scrivo solo quello di cui sono sicura il cilindro e lo spazio proiettivo nn sono omeomorfi dato che uno ha gruppo fondamentale $ZZ$ e l'altro $ZZ_2$
Sia $A={z in CC : 1<|z|<2}$ si consideri l'azione di $ZZ_2$ su A t.c. manda z->-z.
(i) Si mostri che l'azione è propriamente discontinua
(ii) Si determini il gruppo fondamentale di A e di $A/ZZ_2$
(iii) Quali tra questi 4 spazi sono omeomorfi A, $A/ZZ_2$, $S^1xRR$, $P^2(RR)$
Scrivo quello che soi:
(i) Ora se $ZZ_2$ agisce tramite azione, questa è propriamente discontinua perchè $ZZ_2$ è finito e A è un Hausdorff.
(ii) in entrambi in casi sono molto incerta:
Faccio prima un piccolo inciso:
In generale corregetemi se sbaglio se A fosse semplicemente e G agisce su A allora $pi_1(A)={e}$ e $pi_1(A/G)=G$
In questo caso A non è semplicemente connesso DOVREBBE essere un retratto di deformmazione di $S^1$ quindi ha gruppo fondamentale $ZZ$, IN QUESTO CASO IL QUOZIENTE NON SO COSA sia...
Sicuramente dovro usare il fatto dell'azione propriamente discontinua......
(iii) dato che il punto due è incerto scrivo solo quello di cui sono sicura il cilindro e lo spazio proiettivo nn sono omeomorfi dato che uno ha gruppo fondamentale $ZZ$ e l'altro $ZZ_2$
Risposte
Credo che tu abbia scritto male l'azione. Tanto per incominciare la tua definizione è indipendente dall'elemento $n\inZZ_2$.
Per comodità userei il gruppo isomorfo a $ZZ_2$ definito su $\{-1,1\}$ con la moltiplicazione.
E l'azione come $n.z\to nz$.
Ora $1.x = 1x = x$
inoltre $(-1*-1)z= 1z = z$
Per comodità userei il gruppo isomorfo a $ZZ_2$ definito su $\{-1,1\}$ con la moltiplicazione.
E l'azione come $n.z\to nz$.
Ora $1.x = 1x = x$
inoltre $(-1*-1)z= 1z = z$
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