Autovettori matrice unitaria.

[NewNewDeal]

Ciao a tutti ragazzi, non riesco a trovare la dimostrazione di un teorema che invece vedo enunciato spesso:
-Gli autovettori di una matrice unitaria corrispondenti ad autovalori diversi sono ortogonali tra loro.
Qualcuno ha idea di come si possa dimostrare?
Io ho pensato che sia in qualche modo collegato con il fatto che una matrice unitaria ha righe e colonne ortonormali e che essa trasforma vettori ortonormali in vettori ortonormali, ma non sono riuscito a venirne a capo.

[jitter1]

Ciao, ti riporto una dimostrazione ma non ho capito un passaggio.
Perché unitaria, la matrice? Non simmetrica?


Siano k e h due autovalori distinti e v, w i rispettivi autovettori. Quindi:
A v = kv
A w = hw

Consideriamo lo scalare $ v^t A w $. Il trasposto di uno scalare è lo scalare stesso, quindi si può scrivere:
$ v^t A w = (v^t A w)^t = w^t A v $ (essendo A simmetrica, $A^t = A$).

Quindi, sostituendo: $ v^t hw = w^t kv $,

da cui $v^t w (k - h) = 0 $ (questo è il passaggio che non ho capito)

Avendo supposto $ h!= k $ , $v^t w = 0$, cioè w e v sono ortogonali.
(Altra domanda: $v^t w = 0$ sse w e v ortogonali vale se ci si riferisce al prodotto standard, giusto?).

Se riesci a svelare l'arcano, fammi sapere

[NewNewDeal]

No vale anche per le matrici unitarie a quanto pare.
L'arcano mi è stato svelato da un amico:

Siano x e y autovettori di U corrispondenti ad autovalori diversi tali che

$ << x, Uy >> = lambda_1<> $

se faccio l'aggiunzione

$ << U^-1x, y >> = 1/bar(lambda_2)<> $

poichè gli autovalori della matrice unitaria hanno modulo 1 $1/bar(lambda_2) = lambda_2 $

così otteniamo $ lambda_1<> = lambda_2<>$ se visto che $lambda_1 != lambda_2$ è dimostrato.