Autovettori generalizzati
Carissimi, è la prima volta che scrivo in questo forum e spero di trovare aiuto da voi e di darne per quanto mi è possibile. Volevo sottoporvi questa questione riguardante gli autovettori. Ho la seguente matrice
A={(-1,1,1),(3,0,-1),(-7,3,4)}
Essa ha un solo autovalore k=-1 di molteplicità algebrica pari a 3. Il primo autovettore si ricava ovviamente risolvendo il sistema
(A-kI) U1=0 dove U1={u11,u12,u13}
il risultato è U1={0,1,-1}
Per trovare adesso il secondo autovettore U2 della catena di autovettori devo risolvere il sistema
(A-kI) U2=U1
Svolgendo i calcoli mi trovo il secondo autovettore in funzione della terza componente
U2 = (1,2-u23,u23)
Sul libro, la soluzione indica come secondo autovettore U2 = (1,-1,3) che è giusta perchè si è scelto il valore di u23=3.
Con questo secondo autovettore calcolo nel solito modo il terzo autovettore della catena che viene
U3 = (0,1,0)
La mia domanda è questa: qual'è il criterio per cui scelgo il valore u23=3?
Se avessi scelto u23=1 avrei trovato come secondo autovettore
U2=(1,1,1)
ed il terzo sarebbe stato ovviamente diverso dalla soluzione indicata sul libro.
Quindi: con quale criterio si sceglie il valore all'interno dell'autovettore?
Sperando di non stare dicendo un mucchio di sciocchezze, vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto e la pazienza.
A={(-1,1,1),(3,0,-1),(-7,3,4)}
Essa ha un solo autovalore k=-1 di molteplicità algebrica pari a 3. Il primo autovettore si ricava ovviamente risolvendo il sistema
(A-kI) U1=0 dove U1={u11,u12,u13}
il risultato è U1={0,1,-1}
Per trovare adesso il secondo autovettore U2 della catena di autovettori devo risolvere il sistema
(A-kI) U2=U1
Svolgendo i calcoli mi trovo il secondo autovettore in funzione della terza componente
U2 = (1,2-u23,u23)
Sul libro, la soluzione indica come secondo autovettore U2 = (1,-1,3) che è giusta perchè si è scelto il valore di u23=3.
Con questo secondo autovettore calcolo nel solito modo il terzo autovettore della catena che viene
U3 = (0,1,0)
La mia domanda è questa: qual'è il criterio per cui scelgo il valore u23=3?
Se avessi scelto u23=1 avrei trovato come secondo autovettore
U2=(1,1,1)
ed il terzo sarebbe stato ovviamente diverso dalla soluzione indicata sul libro.
Quindi: con quale criterio si sceglie il valore all'interno dell'autovettore?
Sperando di non stare dicendo un mucchio di sciocchezze, vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto e la pazienza.
Risposte
L'autovalore è $k=+1$
In ogni caso $u$ è un autovettore relativo a $k$ se e solo se $u\ne 0$ e $Au=ku$, o alternativamente $(A-kI)u=0$.
Si $u$ un generico vettore $u=(u_{1},u_{2},u_{3})$, allora il sistema diventa:
${(-2u_{1}+u_{2}+u_{3}=0),(3u_{1}-u_{2}-u_{3}=0),(-7u_{1}+3u_{2}+3u_{3}=0):}$
Sommando alla terza la seconda si ottiene:
${(-2u_{1}+u_{2}+u_{3}=0),(3u_{1}-u_{2}-u_{3}=0),(-4u_{1}+2u_{2}+2u_{3}=0):}$
La terza e la prima sono la stessa cosa, una delle due si può omettere, il sistema allora diventa questo:
${(-2u_{1}+u_{2}+u_{3}=0),(3u_{1}-u_{2}-u_{3}=0):}={(u_{2}=2u_{1}-u_{3}),(3u_{1}-2u_{1}+u_{3}-u_{3}=0):}$
Facendo un po' di calcoletti si trova:
${(u_{1}=0),(u_{2}=-u_{3}):}$
Ponendo $u_{2}=\alpha$ si ha che il generico autovettore è: $((0),(\alpha),(-\alpha))=\alpha((0),(1),(-1))$, quindi $((0),(1),(-1))$ è la base dell'autospazio.
In ogni caso $u$ è un autovettore relativo a $k$ se e solo se $u\ne 0$ e $Au=ku$, o alternativamente $(A-kI)u=0$.
Si $u$ un generico vettore $u=(u_{1},u_{2},u_{3})$, allora il sistema diventa:
${(-2u_{1}+u_{2}+u_{3}=0),(3u_{1}-u_{2}-u_{3}=0),(-7u_{1}+3u_{2}+3u_{3}=0):}$
Sommando alla terza la seconda si ottiene:
${(-2u_{1}+u_{2}+u_{3}=0),(3u_{1}-u_{2}-u_{3}=0),(-4u_{1}+2u_{2}+2u_{3}=0):}$
La terza e la prima sono la stessa cosa, una delle due si può omettere, il sistema allora diventa questo:
${(-2u_{1}+u_{2}+u_{3}=0),(3u_{1}-u_{2}-u_{3}=0):}={(u_{2}=2u_{1}-u_{3}),(3u_{1}-2u_{1}+u_{3}-u_{3}=0):}$
Facendo un po' di calcoletti si trova:
${(u_{1}=0),(u_{2}=-u_{3}):}$
Ponendo $u_{2}=\alpha$ si ha che il generico autovettore è: $((0),(\alpha),(-\alpha))=\alpha((0),(1),(-1))$, quindi $((0),(1),(-1))$ è la base dell'autospazio.
Ti ringrazio per la risposta. Fin dove ai descritto tu, mi risulta tutto chiaro. Il punto è che una volta ricavato il primo autovettore della catena, come faccio a trovare il successivo autovettore generalizzato? Grazie mille!
Se non ho sbagliato i conti, tutti gli autovettori di questa matrice si scrivono nella forma: $((0),(\alpha),(-\alpha))$, con $\alpha$ parametro libero, questo vuol dire che gli autovettori di questa matrice sono:
$((0),(1),(-1))$, $((0),(2),(-2))$, $((0),(-3),(3))$, $((0),(\frac{10}{3}),(-\frac{10}{3}))$, $\ldots$ etc$\ldots$ e più in generale:
$((0),(("quello che ti pare")),(-("quello che ti pare")))$
Chiaro adesso?
$((0),(1),(-1))$, $((0),(2),(-2))$, $((0),(-3),(3))$, $((0),(\frac{10}{3}),(-\frac{10}{3}))$, $\ldots$ etc$\ldots$ e più in generale:
$((0),(("quello che ti pare")),(-("quello che ti pare")))$
Chiaro adesso?
No... stiamo parlando di due cose diverse... con il procedimento che tu hai giustamente esposto, ci si calcola il primo autovettore dei tre che servono per il cambiamento di base. Il secondo autovettore della catena di autovettori generalizzati, si ricava risolvendo la relazione
$(A-\lambda I) U_2 = U_1$
ed il terzo autovettore della catena si trova risolvendo la relazione
$(A-\lambda I) U_3 = U_2$
Così facendo si determinano tre autovettori linearmente indipendenti per un eventuale cambiamento di base.
$(A-\lambda I) U_2 = U_1$
ed il terzo autovettore della catena si trova risolvendo la relazione
$(A-\lambda I) U_3 = U_2$
Così facendo si determinano tre autovettori linearmente indipendenti per un eventuale cambiamento di base.
Guarda che se non ho sbagliato i conti c'è solo quell'autovalore, in quanto la dimensione dell'autospazio è 1, ergo l'applicazione non è daigonalizzabile.
I tre autovettori linearmente indipendenti li avresti solo se la matrice fosse diagonalizzabile.
I tre autovettori linearmente indipendenti li avresti solo se la matrice fosse diagonalizzabile.
Io non devo diagonalizzare la matrice, la devo mettere nella forma di Jordan.
Va bene, ma quello che ti voglio dire io è che data una matrice $A\in\mathbb{R}^{n \times n}$, $A$ ammette $n$ autovettori linearmente indipendenti se e solo se è diagonalizzabile, quindi non è detto che ogni matrice di ordine $n$ ammetta $n$ autovettori linearmente indipendenti.
Ciao,
Allora la discussione è parecchio vecchia, perciò scrivo solo per un lettore che magari passa e vuole capire.
per quanto riguarda Jordan è presto detto:
La matrice presenta un solo autovalore, quindi anche una forma di jordan composta da un solo blocco di jordan di dimensione3;
Per quanto riguarda i miniblocchi che compongono il blocco, il numero di questi è pari alla dimensione dell'autospazio generato dall'autovettore associato all'autovalore k=1. Ma questa dimensione è 1, quindi il blocco è composto da un solo miniblocco di jordan di dimensione 3:
J={(1,1,0);(0,1,1);(0,0,1)}
Allora la discussione è parecchio vecchia, perciò scrivo solo per un lettore che magari passa e vuole capire.
per quanto riguarda Jordan è presto detto:
La matrice presenta un solo autovalore, quindi anche una forma di jordan composta da un solo blocco di jordan di dimensione3;
Per quanto riguarda i miniblocchi che compongono il blocco, il numero di questi è pari alla dimensione dell'autospazio generato dall'autovettore associato all'autovalore k=1. Ma questa dimensione è 1, quindi il blocco è composto da un solo miniblocco di jordan di dimensione 3:
J={(1,1,0);(0,1,1);(0,0,1)}
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