Autovettori ed autovalori
Ciao!
E' corretto dire che ad un autovalore corrispondono 1 o più autovettori, mentre ad un autovettore corrisponde uno ed un solo autovalore?
E' corretto dire che ad un autovalore corrispondono 1 o più autovettori, mentre ad un autovettore corrisponde uno ed un solo autovalore?
Risposte
Quasi...
Un autovettore è determinabile da un unico autovalore!
Ogni autovalore determina un unico autospazio; il quale, essendo un sottospazio vettoriale non nullo dello spazio vettoriale ambiente in cui stiamo lavorando, contiene un'infinità di autovettori!
Nello studio della diagonalizzabilità di una matrice quadrata \(\displaystyle n\times n\), od equivalentemente di un endomorfismo lineare di \(\displaystyle\mathbb{V}_n\) (spazio vettoriale reale o complesso di dimensione \(\displaystyle n\)), si calcola il polinomio caratteristico della stessa.
Si determinano le sue radici, ovvero gli autovalori della matrice, e da questi si arriva agli autovettori ed agli autospazi.
Altro discorso, potrebbe essere la verifica dell'eventualità che un certo vettore possa essere anche un autovettore; e qui bisogna sapere la definizione stessa di autovettore e vedere se può esistere un possibile autovalore... ma il discorso si complicherebbe, arrivando allo studio di un sistema di equazioni lineari con un parametro (che, personalmente, non sopporto).[ot]Ma non c'è un'emoticon della Perfida Strega dell'Est, tratto da "Il Mago di Oz", che a cavallo di una scopa (nera) urla come una pazza?!
Lo chiedo, perché rappresenterebbe il mio stato d'animo interiore quando leggo e sento la frase in apertura...[/ot]
Un autovettore è determinabile da un unico autovalore!
Ogni autovalore determina un unico autospazio; il quale, essendo un sottospazio vettoriale non nullo dello spazio vettoriale ambiente in cui stiamo lavorando, contiene un'infinità di autovettori!
Nello studio della diagonalizzabilità di una matrice quadrata \(\displaystyle n\times n\), od equivalentemente di un endomorfismo lineare di \(\displaystyle\mathbb{V}_n\) (spazio vettoriale reale o complesso di dimensione \(\displaystyle n\)), si calcola il polinomio caratteristico della stessa.
Si determinano le sue radici, ovvero gli autovalori della matrice, e da questi si arriva agli autovettori ed agli autospazi.
Altro discorso, potrebbe essere la verifica dell'eventualità che un certo vettore possa essere anche un autovettore; e qui bisogna sapere la definizione stessa di autovettore e vedere se può esistere un possibile autovalore... ma il discorso si complicherebbe, arrivando allo studio di un sistema di equazioni lineari con un parametro (che, personalmente, non sopporto).[ot]Ma non c'è un'emoticon della Perfida Strega dell'Est, tratto da "Il Mago di Oz", che a cavallo di una scopa (nera) urla come una pazza?!
Lo chiedo, perché rappresenterebbe il mio stato d'animo interiore quando leggo e sento la frase in apertura...[/ot]
Gentilissimo grazie mille.
Prego, di nulla!
...e mi raccomando: gli autospazi di una matrice quadrata non si riducono mai al solo vettore nullo!
...e mi raccomando: gli autospazi di una matrice quadrata non si riducono mai al solo vettore nullo!
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