Autovettori e molteplicità algebrica/geometrica
Ciao a tutti, faccio sempre riferimento a voi perchè siete dei mostri.
Ho un grandissimo dubbio che nessuna dispensa è riuscita a levarmi.
Riguarda la molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
ad esempio, avendo la matrice: (non riesco a farvele belle xk mi dice "Le dimensioni immesse non sono valide"
|1 -1 0 0|
|-1 1 0 0|
|0 0 3 -1|
|0 0 -1 3|
mi trovo gli autovalori addattando il polinomio caratteristico.
|1-x -1 0 0|
|-1 1-x 0 0|
|0 0 3-x -1|
|0 0 -1 3-x|
pongo il det = 0 quindi, partendo dal primo elemento della prima riga:
(1-x) [(1-x)(3-x)(3-x) + 0 + 0 - 0 - 0 -((-1)*(-1*)*(1-x))] = ((1-x)^2) ((3-x)^2) -(1-x)^2
piu il secondo elemento:
1*[(3-x)(3-x)(-1) - (-1)(-1)(-1) = 1-(3-x)^2
((1-x)^2) ((3-x)^2) -(1-x)^2 + (1-(3-x)^2) = 0
trovati gli autovalori e sostituiti nell'apposita matrice per trovare gli autospazi, come faccio a determinare la molteplicità algebrico? (il che è la quantità di volte che si ripete un autovalore) e la molteplicità geometrica? (il che dovrebbe essere la dim dell'autospazio dato dal definito autovalore)
non sono in grado di determinare la dimensione dell'autospazio in sè, anche se per fortuna esiste anche questa legge
MG = dim(V) - p(A - kI)
per determinarlo...grazie mille a tutti della risposta!
Ho un grandissimo dubbio che nessuna dispensa è riuscita a levarmi.
Riguarda la molteplicità algebrica e molteplicità geometrica
ad esempio, avendo la matrice: (non riesco a farvele belle xk mi dice "Le dimensioni immesse non sono valide"
|1 -1 0 0|
|-1 1 0 0|
|0 0 3 -1|
|0 0 -1 3|
mi trovo gli autovalori addattando il polinomio caratteristico.
|1-x -1 0 0|
|-1 1-x 0 0|
|0 0 3-x -1|
|0 0 -1 3-x|
pongo il det = 0 quindi, partendo dal primo elemento della prima riga:
(1-x) [(1-x)(3-x)(3-x) + 0 + 0 - 0 - 0 -((-1)*(-1*)*(1-x))] = ((1-x)^2) ((3-x)^2) -(1-x)^2
piu il secondo elemento:
1*[(3-x)(3-x)(-1) - (-1)(-1)(-1) = 1-(3-x)^2
((1-x)^2) ((3-x)^2) -(1-x)^2 + (1-(3-x)^2) = 0
trovati gli autovalori e sostituiti nell'apposita matrice per trovare gli autospazi, come faccio a determinare la molteplicità algebrico? (il che è la quantità di volte che si ripete un autovalore) e la molteplicità geometrica? (il che dovrebbe essere la dim dell'autospazio dato dal definito autovalore)
non sono in grado di determinare la dimensione dell'autospazio in sè, anche se per fortuna esiste anche questa legge
MG = dim(V) - p(A - kI)
per determinarlo...grazie mille a tutti della risposta!
Risposte
"Della92":
Ciao a tutti, faccio sempre riferimento a voi perchè siete dei mostri.
Veramente è il tuo primo messaggio.
In ogni modo, trattandosi di una matrice a blocchi, puoi procedere più semplicemente anche così:$A_1=((1,-1),(-1,1))$
$[(1-lambda)^2-1=0] rarr [lambda(lambda-2)=0] rarr [lambda=0] vv [lambda=2]$
$[lambda=0] rarr ((t_1),(t_1)) ^^ [lambda=2] rarr ((t_2),(-t_2))$
$A_2=((3,-1),(-1,3))$
$[(3-lambda)^2-1=0] rarr [(lambda-2)(lambda-4)=0] rarr [lambda=2] vv [lambda=4]$
$[lambda=2] rarr ((t_3),(t_3)) ^^ [lambda=4] rarr ((t_4),(-t_4))$
In definitiva:
$A=A_1\oplusA_2=((1,-1,0,0),(-1,1,0,0),(0,0,3,-1),(0,0,-1,3))$
$[lambda=0] rarr ((t_1),(t_1),(0),(0)) ^^ [lambda=2] rarr ((t_2),(-t_2),(t_3),(t_3)) ^^ [lambda=4] rarr ((0),(0),(t_4),(-t_4))$
si hai ragione xD seguo sempre per consultare ma non mi sono mai iscritto, ieri però ho preso coraggio (:P) e l'ho fatto! grazie mille.
Qualche dubbio
a) Quindi..qualsiasi matrice 4x4 posso suddividerla in 4 sotto matrici e calcolarne il det = 0 e poi sommare i risultati?
a II) nel caso che gli 8 elementi nulli fossero stati numeri diversi da 0, valeva lo stesso!?
b) in questo caso qual è la molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori? Io provo a dire...
λ = 0, m.a. = 1, dim(V(λ)) = .....
λ1 = 2, m.a. = 2, dim(V(λ1)) = ....
λ2 = 4, m.a. = 1, dim(V(λ2)) = .....
direi tutte e tre dim 1 dato che sono composti da una colonna ma credo che sia una grossa fesserie e non valga come l'Im(f)...
Grazie dell'aiuto!
grazie mille.Qualche dubbio
a) Quindi..qualsiasi matrice 4x4 posso suddividerla in 4 sotto matrici e calcolarne il det = 0 e poi sommare i risultati?
a II) nel caso che gli 8 elementi nulli fossero stati numeri diversi da 0, valeva lo stesso!?
b) in questo caso qual è la molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori? Io provo a dire...
λ = 0, m.a. = 1, dim(V(λ)) = .....
λ1 = 2, m.a. = 2, dim(V(λ1)) = ....
λ2 = 4, m.a. = 1, dim(V(λ2)) = .....
direi tutte e tre dim 1 dato che sono composti da una colonna ma credo che sia una grossa fesserie e non valga come l'Im(f)...
Grazie dell'aiuto!
"Della92":
Quindi qualsiasi matrice...
Assolutamente no. Vale solo per le matrici a blocchi: http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_a_blocchi
"Della92":
Nel caso che...
Come sopra. In generale si procede con la matrice iniziale.
"Della92":
In questo caso qual è...
La matrice iniziale è simmetrica, quindi diagonalizzabile. Per questo la molteplicità algebrica di ogni autovalore è uguale a quella geometrica. In questo caso, $[lambda=0]$ e $[lambda=4]$ hanno molteplicità geometrica uguale a $[1]$, come si evince dai relativi autospazi espressi mediante un solo parametro, $[lambda=2]$ ha molteplicità geometrica uguale a $[2]$, come si evince dal relativo autospazio espresso mediante due parametri.
Mi pare che si potesse anche ridurre a una matrice triang. superiore, no?
Ti ringrazio, sapevo solo che è diagonalizzabile <==> m.a. = m.g, non l'avevo mai vista sotto il punto di vista della simmetria!
Quindi la dim dell'autospazio è determinata dal numero di parametri differenti all'interno della determinazione dell'autospazio stesso?
Quindi la dim dell'autospazio è determinata dal numero di parametri differenti all'interno della determinazione dell'autospazio stesso?
Scusami, ma da tale definizione io posso comprendere che qualsiasi matrice può essere "trasformata" in una a blocchi...
"Una matrice a blocchi, o matrice partizionata a blocchi, è una matrice scritta in modo da raggrupparne gli elementi in blocchi rettangolari, ovvero descritta tramite sottomatrici della matrice stessa.
Questa riscrittura può consentire di descrivere meglio la matrice e la sua azione, o di effettuare più agevolmente i calcoli con particolari matrici" quindi anche
$ ( ( 4 , 5 , 6 , -2 ),( 0 , 12 , -3 , -2 ),( -2 , -5 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 4 , -7 ) ) $
nell'ipotetico calcolo degli autovalori può essere suddivisa in 4 sottomatrici e porre ogni singolo det = 0!
Se sbaglio, dove è il mio errore!?
grazie!
"Una matrice a blocchi, o matrice partizionata a blocchi, è una matrice scritta in modo da raggrupparne gli elementi in blocchi rettangolari, ovvero descritta tramite sottomatrici della matrice stessa.
Questa riscrittura può consentire di descrivere meglio la matrice e la sua azione, o di effettuare più agevolmente i calcoli con particolari matrici" quindi anche
$ ( ( 4 , 5 , 6 , -2 ),( 0 , 12 , -3 , -2 ),( -2 , -5 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 4 , -7 ) ) $
nell'ipotetico calcolo degli autovalori può essere suddivisa in 4 sottomatrici e porre ogni singolo det = 0!
Se sbaglio, dove è il mio errore!?
grazie!
"Della92":
Quindi la dim dell'autospazio è determinata dal numero di parametri differenti all'interno della determinazione dell'autospazio stesso?
Certamente.
"Della92":
Se sbaglio, dove è il mio errore!?
Non riesco nemmeno a risponderti. Non si comprende di che cosa stai parlando.
ricapitolando..la mia domanda fu:
"Quindi..qualsiasi matrice 4x4 posso suddividerla in 4 sotto matrici e calcolarne il det = 0 e poi sommare i risultati?"
La tua risposta fu:
"Assolutamente no. Vale solo per le matrici a blocchi: http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_a_blocchi"
la mia osservazione fu:
"da tale definizione (quella che mi hai linkato su wiki) io posso comprendere che qualsiasi matrice può essere "trasformata" in una a blocchi"===> ergo qualsiasi 4x4 è una matrice a blocchi se suddivisa in 4 sottomatrici 2x2.
erro?
"Quindi..qualsiasi matrice 4x4 posso suddividerla in 4 sotto matrici e calcolarne il det = 0 e poi sommare i risultati?"
La tua risposta fu:
"Assolutamente no. Vale solo per le matrici a blocchi: http://it.wikipedia.org/wiki/Matrice_a_blocchi"
la mia osservazione fu:
"da tale definizione (quella che mi hai linkato su wiki) io posso comprendere che qualsiasi matrice può essere "trasformata" in una a blocchi"===> ergo qualsiasi 4x4 è una matrice a blocchi se suddivisa in 4 sottomatrici 2x2.
erro?
Scusami ma continuo a non capire. Facciamo prima se mi fai vedere come opereresti su questa:
$((4,5,6,-2),(0,12,-3,-2),(-2,-5,1,1),(0,1,4,-7))$
Chiaramente, le operazioni non devono modificarne autovalori ed autovettori. Guarda qui:
metodo-delle-potenze-t50183.html#p363717
$((4,5,6,-2),(0,12,-3,-2),(-2,-5,1,1),(0,1,4,-7))$
Chiaramente, le operazioni non devono modificarne autovalori ed autovettori. Guarda qui:
metodo-delle-potenze-t50183.html#p363717
ok. per calcolarne il gli autovalori, con questo nuovo metodo, suddividerei la matrice in 4 blocchi quadrati:
A = $ ( ( 4 , 5 ),( 0 , 12 ) ) $
B = $ ( ( 6 , -2 ),( -3 , -2 ) ) $
C = $ ( ( -2 , -5 ),( 0 , 1 ) ) $
D = $ ( ( 1 , 1 ),( 4 , -7 ) ) $
ora vado a calcolarmi gli autovalori delle singole utilizzando il polinomio caratteristico e ponendo il det = 0 e li confronto
si può fare!?
A = $ ( ( 4 , 5 ),( 0 , 12 ) ) $
B = $ ( ( 6 , -2 ),( -3 , -2 ) ) $
C = $ ( ( -2 , -5 ),( 0 , 1 ) ) $
D = $ ( ( 1 , 1 ),( 4 , -7 ) ) $
ora vado a calcolarmi gli autovalori delle singole utilizzando il polinomio caratteristico e ponendo il det = 0 e li confronto
si può fare!?
Assolutamente no. Che cosa sia una matrice a blocchi, si comprende dalla risorsa che ti ho indicato.
sinceramente ho fatto una gran confusione: almeno ho capito questa cosa non si può fare. La prendo come postulato, come postulato di Speculor, di cui, ovviamente, omettiamo la dimostrazione grazie ancora!!
grazie ancora!!
Per la precisione, i postulati non si dimostrano, i teoremi sì.
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