Autovettori di una matrice
Ciao a tutti.
Non ho capito come si trovano gli autovettori di una matrice. Ad esempio ho la seguente matrice
[size=150]( 1 0 0 )
( -1 3 0 )
( 3 2 -2 ) [/size]
So che gli autovalori sono [size=150]1[/size], [size=150]3[/size] e [size=150]-2[/size]
Vorrei sapere come si trovano gli autovettori della matrice. Grazie
Non ho capito come si trovano gli autovettori di una matrice. Ad esempio ho la seguente matrice
[size=150]( 1 0 0 )
( -1 3 0 )
( 3 2 -2 ) [/size]
So che gli autovalori sono [size=150]1[/size], [size=150]3[/size] e [size=150]-2[/size]
Vorrei sapere come si trovano gli autovettori della matrice. Grazie
Risposte
Si tratta di un esercizio molto standard, ti suggerisco di leggeri un qualsiasi manuale di algebra lineare.
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
@TT,
hai 21 messaggi e ancora non sai usare la codica per le formule (se hai difficoltà all'inizio usa http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php facendo attenzione ai delimitatori
)... vediamo al tuo problema, tu hai la seguente matrice $$M:=\begin{Vmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1& 3 & 0\\
3& 2 & -2
\end{Vmatrix}$$ la quale penso sia la matrice associata ad un \( \mathfrak{f} \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\), ergo sai che la definizione di autovettore di \( \mathfrak{f} \) è data rispetto ad un autovalore di \( \mathfrak{f} \), ergo ti viene chiesto di calcolare i relativi autospazi associati agli autovalori di \( \mathfrak{f} \), ovvero \( E_1^ \mathfrak{f} \), \( E_3^ \mathfrak{f} \), \( E_{-2}^ \mathfrak{f} \).. ricordati che, con \( \alpha \in \text{sp}(\mathfrak{f})=\{a \in \Bbb{R}|a \text{ è autovalore di } \mathfrak{f} \}\)$$ E_\alpha^ \mathfrak{f}=\{v \in \Bbb{R}^3|\mathfrak{f}(v)=\alpha \cdot v \}=\ker(M_\alpha) $$... prova tu ad esplicitare i calcoli!
Saluti
"TT":
Ciao a tutti.
Non ho capito come si trovano gli autovettori di una matrice. Ad esempio ho la seguente matrice
[size=150]( 1 0 0 )
( -1 3 0 )
( 3 2 -2 ) [/size]
So che gli autovalori sono [size=150]1[/size], [size=150]3[/size] e [size=150]-2[/size]
Vorrei sapere come si trovano gli autovettori della matrice. Grazie
hai 21 messaggi e ancora non sai usare la codica per le formule (se hai difficoltà all'inizio usa http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php facendo attenzione ai delimitatori
)... vediamo al tuo problema, tu hai la seguente matrice $$M:=\begin{Vmatrix}1 & 0 & 0\\
-1& 3 & 0\\
3& 2 & -2
\end{Vmatrix}$$ la quale penso sia la matrice associata ad un \( \mathfrak{f} \in \operatorname{End}_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\), ergo sai che la definizione di autovettore di \( \mathfrak{f} \) è data rispetto ad un autovalore di \( \mathfrak{f} \), ergo ti viene chiesto di calcolare i relativi autospazi associati agli autovalori di \( \mathfrak{f} \), ovvero \( E_1^ \mathfrak{f} \), \( E_3^ \mathfrak{f} \), \( E_{-2}^ \mathfrak{f} \).. ricordati che, con \( \alpha \in \text{sp}(\mathfrak{f})=\{a \in \Bbb{R}|a \text{ è autovalore di } \mathfrak{f} \}\)$$ E_\alpha^ \mathfrak{f}=\{v \in \Bbb{R}^3|\mathfrak{f}(v)=\alpha \cdot v \}=\ker(M_\alpha) $$... prova tu ad esplicitare i calcoli!
Saluti
Non mi ricordo dove si trovano i codici per usare MathJax 
So che devo trovare l'autovettore relativo all'autovalore. Allora prendo il primo autovalore cioè x = 1 e lo sostituisco nella matrice di partenza. Diventa
[size=150](0 0 0)
(-1 2 0)
(3 2 -3 )[/size]
poi devo moltiplicare le righe della matrice con le colonna
[size=150](x)
(y)
(z)[/size]
e cosi mi trovo il seguente sistema
[size=150]{ 0 = 0
{ -x +2y = 0
{ 3x -2y -3z = 0[/size]
Poi non so come procedere.
So che devo trovare l'autovettore relativo all'autovalore. Allora prendo il primo autovalore cioè x = 1 e lo sostituisco nella matrice di partenza. Diventa
[size=150](0 0 0)
(-1 2 0)
(3 2 -3 )[/size]
poi devo moltiplicare le righe della matrice con le colonna
[size=150](x)
(y)
(z)[/size]
e cosi mi trovo il seguente sistema
[size=150]{ 0 = 0
{ -x +2y = 0
{ 3x -2y -3z = 0[/size]
Poi non so come procedere.
Devi RISOLVERE il SISTEMA dato dall'equazione matriciale
$(A-\lambda_{i}I)\vec{x}=\vec{0}$
dove $A$ è la matrice associata all'applicazione $f$ nelle basi scelte, $\lambda_{i}$ è l'$i$-esimo autovalore.
$(A-\lambda_{i}I)\vec{x}=\vec{0}$
dove $A$ è la matrice associata all'applicazione $f$ nelle basi scelte, $\lambda_{i}$ è l'$i$-esimo autovalore.
gli autovettori sono questi ?
[size=150]y = 2/x
z = x - 2y/3[/size]
[size=150]y = 2/x
z = x - 2y/3[/size]
come si risolve questo sistema ? C'è un metodo standard ?
il libro dice che gli autovettori sono (2y, y, 2y)
non ho capito come ha fatto. Qualcuno mi può dare una mano ?
non ho capito come ha fatto. Qualcuno mi può dare una mano ?
"TT":
il libro dice che gli autovettori sono (2y, y, 2y)
non ho capito come ha fatto. Qualcuno mi può dare una mano ?
questa risposta che citi è strana.
dovresti avere tre autovettori (uno per autovalore)
vediamo se puo aiutarti uno degli auto vettori quello per l'autovalore 1 è \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 8/3 \end{pmatrix} \)
il risultato che porta il libro è l'autovettore dell'autovalore 1.
Il vettore che hai calcolato tu secondo il libro è
(2y, y, 2y)
Potrebbe trattarsi di un errore del libro ?
Comunque mi puoi dire il tuo procedimento ?
Il vettore che hai calcolato tu secondo il libro è
(2y, y, 2y)
Potrebbe trattarsi di un errore del libro ?
Comunque mi puoi dire il tuo procedimento ?
"Cuspide83":
Devi RISOLVERE il SISTEMA dato dall'equazione matriciale
$(A-\lambda_{i}I)\vec{x}=\vec{0}$
dove $A$ è la matrice associata all'applicazione $f$ nelle basi scelte, $\lambda_{i}$ è l'$i$-esimo autovalore.
Cuspide Ti sta suggerendo di risolere i sistemi lineare che ottieni dalla differenza delle matrici
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & -2 \end{pmatrix} \) e \( \begin{pmatrix} \lambda_{i} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{i} & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_{i} \end{pmatrix} \)
dove sostituisci a \lambda_i i vari autovalori
"TT":
il risultato che porta il libro è l'autovettore dell'autovalore 1.
Il vettore che hai calcolato tu secondo il libro è
(2y, y, 2y)
Potrebbe trattarsi di un errore del libro ?
più probabile che si tratti di un mio errore. sono 20 anni che non calcolo più autovalori
si mi esce il seguente sistema per trovare l'autovettore dell'autovalore 1
{ 0 = 0
{ -x +2y = 0
{ 3x -2y -3z = 0
Poi non so come risolverlo
{ 0 = 0
{ -x +2y = 0
{ 3x -2y -3z = 0
Poi non so come risolverlo
il mio problema è che on riesco a risolvere il sistema
Per prima cosa ti informo che il regolamento è piuttosto chiaro sull'uso delle formule (grassetto mio) :
Sei pertanto pregato di guardarti come si inseriscono le formule al più presto.
Sempre il regolamento, richiede da parte tua un tentativo di risoluzione. Quello che vedo io è invece solo un continuo riproporre la stessa domanda.
Riguardo al sistema
\(\displaystyle \begin{cases} 0 = 0 \\ -x + 2y = 0 \\ 3x - 2y -3z = 0 \end{cases} \)
dovresti sapere che equivale al sistema
\(\displaystyle \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ 3x - 2y = +3z \end{cases} \)
Siccome la matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \) ha determinante \(\displaystyle 2-6 = -4 \) allora è possibile esprimere tutte le soluzioni parametrizzate rispetto al parametro \(\displaystyle z \).
Comunque non ha senso preoccuparsi degli esercizi per gli autovalori se non sai risolvere i sistemi lineari. Ripassati come si risolvono i sistemi e poi ritorna ad occuparti dei problemi degli autovalori.
"regolamento":
3.6b E' fortemente consigliato scrivere le formule usando il linguaggio MathML o TeX, per facilitare la lettura dei partecipanti e di coloro che si accostano al forum per imparare. Dopo 30 messaggi inseriti, segno di apprezzabile presenza nella community, l'uso di tale linguaggio per la scrittura delle formule è obbligatorio.
Sei pertanto pregato di guardarti come si inseriscono le formule al più presto.
Sempre il regolamento, richiede da parte tua un tentativo di risoluzione. Quello che vedo io è invece solo un continuo riproporre la stessa domanda.
Riguardo al sistema
\(\displaystyle \begin{cases} 0 = 0 \\ -x + 2y = 0 \\ 3x - 2y -3z = 0 \end{cases} \)
dovresti sapere che equivale al sistema
\(\displaystyle \begin{cases} -x + 2y = 0 \\ 3x - 2y = +3z \end{cases} \)
Siccome la matrice \(\displaystyle \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \) ha determinante \(\displaystyle 2-6 = -4 \) allora è possibile esprimere tutte le soluzioni parametrizzate rispetto al parametro \(\displaystyle z \).
Comunque non ha senso preoccuparsi degli esercizi per gli autovalori se non sai risolvere i sistemi lineari. Ripassati come si risolvono i sistemi e poi ritorna ad occuparti dei problemi degli autovalori.
"TT":
si mi esce il seguente sistema per trovare l'autovettore dell'autovalore 1
{ 0 = 0
{ -x +2y = 0
{ 3x -2y -3z = 0
Poi non so come risolverlo
la prima equazione diventa \( x=2y \)
\( 3x -2y -3z = 0\Rightarrow 3x -x -3z = 0 \Rightarrow 2x -3z = 0 \Rightarrow 2x=3z \)
se \( x=2 \) \( \Rightarrow \) \( y=1\) e \( z=4/3 \)
ovviamente hai infinite soluzioni cioè \( \begin{pmatrix} 2k \\ k \\ (4/3)k \end{pmatrix} \) con \( k\in R \)
Dovresti normalizzare il vettore o vvero trovare il vettore con norma 1 che se non ricordo male significa imporre che la somma dei quadrati delle componenti è =1
cosa significa parametrizzare rispetto a[size=150] $ z $[/size]
Skylarry per favore mi puoi spiegare meglio i passaggi
"TT":
cosa significa parametrizzare rispetto a $ z $
Significa risolvere il sistema considerando \(z\) come un parametro invece che come una variabile. Nota che la soluzione data ha usato \(y\) come parametro.
P.S.: Non è necessario ingrandire le formule
non ho capito questo passaggio
$ 3x - 2y - 3z = 0 $
perché diventa
$ 3x - x - 3z = 0 $
$ 3x - 2y - 3z = 0 $
perché diventa
$ 3x - x - 3z = 0 $
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