Autovettori di matrici simili
Credo di avere un dubbio che non riesco bene a fugare sugli autovettori di matrici simili.
Il professore (o almeno io ho annotato sugli appunti) la frase sibillina che "autovettori di matrici simili anche se sembrano differenti in realtà generano il medesimo autospazio". Insomma sembra dire che matrici simili hanno lo stesso autovettore (al massimo cambia qualche parametro moltiplicativo cosicché generino lo stesso spazio).
Annotazione che ora come ora non riesco a capire, rileggendo e facendo un esempio.
Se prendo la matrice:
$((1,2,1), (0,2,0), (1,-2,1))$
ho autovettori (trasposte di:)
$(-1,0,1)$ riferito ad autovalore 0 e per autovalore 2: $(2,1,0),(1,0,1)$ (**)
ebbene se diagonalizzo ho $((0,0,0), (0,2,0), (0,0,2))$ e gli autovettori sono palesemente $(1,0,0)$ e $(0,1,0),(0,0,1)$
Ora: l'autovettore relativo a $lambda=0$ della prima matrice associata a una applicazione lineare sarebbe $(-1,0,1)$e mi sembra ben diverso dall'autovettore sempre riferito a autovalore zero della seconda rappresentazione diagonalizzata (nota1)[nota](del medesimo endomorfismo rispetto alla base di autovettori elencata (**))[/nota] che sarebbe in tal caso l'autovettore $(1,0,0)$, inoltre anche gli autospazi che generano sono diversissimi.
In che modo allora quella frase che ho annotato andrebbe letta? Cerco una risposta e non la trovo in autonomia!
Forse ho scritto una frase sbagliata? A questo punto spero sia così perché vorrebbe dire che non ho sbagliato quanto qui scritto
Il professore (o almeno io ho annotato sugli appunti) la frase sibillina che "autovettori di matrici simili anche se sembrano differenti in realtà generano il medesimo autospazio". Insomma sembra dire che matrici simili hanno lo stesso autovettore (al massimo cambia qualche parametro moltiplicativo cosicché generino lo stesso spazio).
Annotazione che ora come ora non riesco a capire, rileggendo e facendo un esempio.
Se prendo la matrice:
$((1,2,1), (0,2,0), (1,-2,1))$
ho autovettori (trasposte di:)
$(-1,0,1)$ riferito ad autovalore 0 e per autovalore 2: $(2,1,0),(1,0,1)$ (**)
ebbene se diagonalizzo ho $((0,0,0), (0,2,0), (0,0,2))$ e gli autovettori sono palesemente $(1,0,0)$ e $(0,1,0),(0,0,1)$
Ora: l'autovettore relativo a $lambda=0$ della prima matrice associata a una applicazione lineare sarebbe $(-1,0,1)$e mi sembra ben diverso dall'autovettore sempre riferito a autovalore zero della seconda rappresentazione diagonalizzata (nota1)[nota](del medesimo endomorfismo rispetto alla base di autovettori elencata (**))[/nota] che sarebbe in tal caso l'autovettore $(1,0,0)$, inoltre anche gli autospazi che generano sono diversissimi.
In che modo allora quella frase che ho annotato andrebbe letta? Cerco una risposta e non la trovo in autonomia!
Forse ho scritto una frase sbagliata? A questo punto spero sia così perché vorrebbe dire che non ho sbagliato quanto qui scritto
Risposte
"serafinon":Questo è falso, come hai ben dimostrato trovando un controesempio. Per fugare i dubbi ti consiglio di chiedere al tuo prof cosa intendeva dire con quella frase.
"autovettori di matrici simili anche se sembrano differenti in realtà generano il medesimo autospazio".
Ti ringrazio molto. Ovviamente non ho certezza l'abbia seriamente detto perché è un appunto preso alla veloce a fine lezione quindi potrei BENISSIMO aver preso fischi per fiaschi.
In ongi caso indagherò, ma almeno so che non sono fuori strada e ti ringrazio!
PS: forse al massimo quello che possiamo dire è che gli autovettori corrispondendi a medesimo autovalore nelle due matrici generano un autospazio di medesima dimensione?
Questo mi pare vero perché gli autovettori di una certa matrice e della matrice ad essa simile (ad esempio la diagonale di cui sopra) si comportano nello stesso modo quando vi applico: [matrice]*[autovettore]=[autovalore]*[autovettore], questo per tutte le simili (e per i relativi autovettori delle matrici).
Forse questo sì vale.
In ongi caso indagherò, ma almeno so che non sono fuori strada e ti ringrazio!
PS: forse al massimo quello che possiamo dire è che gli autovettori corrispondendi a medesimo autovalore nelle due matrici generano un autospazio di medesima dimensione?
Questo mi pare vero perché gli autovettori di una certa matrice e della matrice ad essa simile (ad esempio la diagonale di cui sopra) si comportano nello stesso modo quando vi applico: [matrice]*[autovettore]=[autovalore]*[autovettore], questo per tutte le simili (e per i relativi autovettori delle matrici).
Forse questo sì vale.
Sì vale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo