Autovettori di matrice

[waind]

ciao ragazzi,scusate,ma mi sto impiccando con questo esercizio,..
determinare $ a,b,c,d,e,f in R$ sapendo che (1,1,1), (1,0,-1), (1,-1,0) $in R$
sono autovettori della matrice
$((1,1,1),(a,b,c),(d,e,f))$
qualcuno ha da suggerirmi come procedere??i calcoli li posso fare pure io..
avevo provato a fare il polinomio caratteristico,ma ci sono davvero troppe incognite per avere gli autovalori,e da li avrei calcolato gli autovettori e poi fatto una semplice uguaglianza con i tre datomi dal problema.
please help

Waind

[amel3]

Mi sembra che si possa procedere così.
Intanto osservo che i tre autovettori sono linearmente indipendenti, quindi la matrice è diagonalizzabile.
Impongo che i tre vettori in questione siano uno per uno autovettori della matrice, così ottengo subito gli autovalori corrispondenti. Infatti, prendiamo ad esempio il primo.
$((1,1,1),(a,b,c),(d,e,f)) ((1),(1),(1))= \lambda_1 ((1),(1),(1))=((lambda_1),(lambda_1),(lambda_1))$
$((3),(.....),(.....))=((lambda_1),(lambda_1),(lambda_1))$
Oltre a questo otterrò un altro autovalore $\lambda_2$ (di molteplicità 2).
Essendo $A$ (la nostra matrice) diagonalizzabile, dovrà essere:
$P^{-1}AP=((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_2))$, ovvero $A P= P ((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_2)) $
dove $P$ non è una matrice invertibile qualsiasi, ma quella che ha come colonne (ordinatamente) i nostri tre autovettori.
Imponendo queste relazioni dovresti trovare la matrice $A$ richiesta.
Magari controlla se tornano anche a te i passaggi, sono uno specialista negli errori.

[maurer]

Io proverei a procedere in questo modo: indichiamo con $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ gli autovalori della matrice. Consideriamo l'endomorfismo $f:R^3 \to R^3$ la cui matrice rispetto alla base canonica $B = (\vec e_1, \vec e_2, \vec e_3)$ sia la matrice del tuo esercizio. Sappiamo che $(1,1,1), (1,0,-1), (1, -1, 0)$ devono essere autovettori relativi a questi autovalori. Quindi dovrà essere valido il sistema:
${(f(\vec e_1 + \vec e_2 + \vec e_3) = \lambda_1 (\vec e_1 + \vec e_2 + \vec e_3)), (f(\vec e_1 - \vec e_3) = \lambda_2 (\vec e_1 - \vec e_3)), (f(\vec e_1 - \vec e_2) = \lambda_3 (\vec e_1 - \vec e_2)):}$
Sfruttando la linearità di $f$ puoi spezzare i termini $f(\vec e_1 + \vec e_2 + \vec e_3)$, $f(\vec e_1 - \vec e_3)$ e $f(\vec e_1 - \vec e_2)$. Se risolvi il sistema rispetto alle incognite $f(\vec e_1)$, $f(\vec e_2)$ e $f(\vec e_3)$ troverai la loro espressione rispetto alla base canonica $B$. Sapendo che la prima componente di tutti e tre i vettori deve essere $1$ ottieni un ulteriore sistema in funzione degli autovalori. A quel punto saprai tutto quello che devi sapere per completare la tua matrice, ossia per dare un valore ai tuoi sei parametri $a,b,c,d,e,f$. Non ho fatto i conti, scusami. Ma se hai qualunque problema chiedi pure.
Spero di non aver fatto errori grossolani (sono molto nuovo in questa materia...)

[waind]

Grazie mille ad entrambi
siete stati molto gentile, facendo i calcoli mi è venuto fuori che $a=b=c=d=e=f=1$
per trovarli sono arrivato fino a calcolare $AP = P((3,0,0),(0,0,0),(0,0,0))$
ma si poteva dedurre a,b,c,d,e,f, anche molto prima, moltiplicando $A((1),(1),(1))$ si otteneva $\lambda_1; a+b+c = 3 ; d+e+f = 3$
$A((1),(0),(-1)) $ottenevo $\lambda_2 ; a-c=0 , d-f = 0$
con l'ultimo autovettore $\lambda_3 =\lambda_2 ; a-b=0; d-e =0;$
l'insieme del sistema mi hanno dato le incognite cercate.
ho trovato più pratico il metodo di amel,cmq grazie anche a te maurer per averci pensato.
thanks guys