Autovettori della trasformata di fourier
quali sono gli autovettori della trasformata di fourier? ha senso chiederselo?
la TF (nella definizione simmetrica) è un operatore unitario L2(R) -> L2(R), quindi i suoi autovalori hanno modulo 1 e gli autovettori devono formare un sistema ortonormale completo, esatto?
l'unico vettore y(x) tale per cui $TFy(x) = lambda y(x)$ che mi viene in mente è la gaussiana con sigma=1.
sapete dirmi qualcosa sull'argomento?
la TF (nella definizione simmetrica) è un operatore unitario L2(R) -> L2(R), quindi i suoi autovalori hanno modulo 1 e gli autovettori devono formare un sistema ortonormale completo, esatto?
l'unico vettore y(x) tale per cui $TFy(x) = lambda y(x)$ che mi viene in mente è la gaussiana con sigma=1.
sapete dirmi qualcosa sull'argomento?
Risposte
A me pare di ricordare (ma vado a memoria, quindi se non ti fidi ti capisco benissimo 
) che le uniche autofunzioni della F-trasformata siano le gaussiane.
) che le uniche autofunzioni della F-trasformata siano le gaussiane.
perchè gaussiane?
io direi solo la gaussiana centrata nell'origine con $sigma^2=1$, è noto che allargandola nello spazio delle posizioni si stringe in quello dei momenti e viceversa. traslandola avremmo invece per le proprietà della TF un termine di fase aggiuntivo. in realtà sarebbe molto bello pensare alle gaussiane come sistema ortonormale completo e scrivere ogni funzione L2 come combinazione lineare di gaussiane, purtroppo non ho mai visto niente del genere e temo non si possa per il motivo scritto sopra.
io direi solo la gaussiana centrata nell'origine con $sigma^2=1$, è noto che allargandola nello spazio delle posizioni si stringe in quello dei momenti e viceversa. traslandola avremmo invece per le proprietà della TF un termine di fase aggiuntivo. in realtà sarebbe molto bello pensare alle gaussiane come sistema ortonormale completo e scrivere ogni funzione L2 come combinazione lineare di gaussiane, purtroppo non ho mai visto niente del genere e temo non si possa per il motivo scritto sopra.
Le perché intendevo $c e^{-t^2}$, per ogni $c \in \mathbb{R}$...
beh, in termini spettrali quelle sono "una sola" 
trovo comunque ora questo sulla wiki
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_tr ... nfunctions
ad essere autovalori sono i polinomi di Hermite moltiplicati per la gaussiana. ora la cosa mi piace molto di più: ecco il bel s.o.n.c. che mi aspettavo!
trovo comunque ora questo sulla wiki
http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_tr ... nfunctions
ad essere autovalori sono i polinomi di Hermite moltiplicati per la gaussiana. ora la cosa mi piace molto di più: ecco il bel s.o.n.c. che mi aspettavo!
"wedge":
beh, in termini spettrali quelle sono "una sola"
Certo, sono io che mi sono spiegato male.
tra l'altro, ora che ci penso, gli hermite polynomials pesati da exp(x^2)/2 sono autovettori dell'oscillatore armonico in meccanica quantistica, ed è quindi intuitivo pensare che siano invarianti per TF, data l'evidente simmetria del problema dell'oscillatore nelle coordinate canoniche q e p.
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