Autovettori

[andreajf89]

che voi sappiate, data A matrice diagonalizzabile:

1) la somma di due autovettori è un autovettore?

2) ogni vettore di $RR^3$ è somma di autovettori di A


ho alcuni dubbi su ciò...

[blackdie]

La due è vera,perche una matrice è diagonalizzabile se e solo se esiste una base di autovettori(per lo spazio su cui sta agendo l'endomorfismo a cui è associata la matrice data)

La prima
Se vale $L(v)=lambda*v$ e $L(u)=sigma*u$ si ha $L(u+v)=sigma*u+lambda*v$Ma questo se non in casi particolari(cioè $lambda=sigma$ e $u+v$ non nullo) non si puo scrivere come $qualcosa*(u+v)$.

[andreajf89]

ah grazie mille... un'altra cosa, perdonami... se io ho una matrice $A$ essa deve avere per forza almeno un autovalore? (risponderei di primo impatto si, almeno per $lambda=0$)

[Gatto891]

"andreajf89":ah grazie mille... un'altra cosa, perdonami... se io ho una matrice $A$ essa deve avere per forza almeno un autovalore? (risponderei di primo impatto si, almeno per $lambda=0$)

Non necessariamente... riguardo al tuo esempio, se prendi un'applicazione $f$ con $ker(f) = {0}$, $lambda=0$ non è autavalore di nessun autovettore perchè l'unico vettore che verifica $f(v) = 0*v = 0$ è il vettore nullo che per definizione non è un autovettore...

[andreajf89]

quindi esistono anche matrici prive di autovalori?

[Studente Anonimo]

"andreajf89":quindi esistono anche matrici prive di autovalori?

Se il campo base non è algebricamente chiuso sì, per esempio la matrice $A=((0,-1),(1,0))$ su $RR$ non ha autovalori.
Se invece il campo base è algebricamente chiuso ogni matrice ha almeno un autovalore. Per esempio su $CC$ gli autovalori di $A$ sono $i$ e $-i$.

[dissonance]

Questa storia degli autovalori si capisce meglio (imho) se interpretata geometricamente. Prendiamo una matrice di rotazione del piano(quella indicata da Martino, ad esempio, è la rotazione di $pi/2$): può mai avere autovettori, i.e. vettori su cui agisce per semplice dilatazione? Si capisce che la risposta è no (a meno che la rotazione non sia di $0$ radianti, vabbé): nessun vettore viene dilatato perché viene, appunto, solo ruotato.

[franced]

"andreajf89":

1) la somma di due autovettori è un autovettore?

No, guarda questo esempio:

$A = ((1,0),(0,-1))$

due autovettori lin. indipendenti sono $((1),(0))$ e $((0),(1))$
e la loro somma non è autovettore.
Infatti abbiamo:

$((1,0),(0,-1)) ((1),(1)) = ((1),(-1))$