Autovettori
Ciao
La domananda che vi devo fare è alquanto banale...ma mi è vunuto un grosso dubbio
se ho una matrice 3x3 e devo trovare gli autovettori (dope che ho già calcolato gli autovalori)
devo ridurre per righe la matrice iniziale???
esempio:
$A=(2 .............. -1 ............... 1 )$
$ (1 ............. 2 .................. -1)$
$ (3 .............. -4 ............... 3) $
gli autovalori solo 0,2,5
quando faccio A-5I ottengo un'altra matrice che dovrei motiplicare per x,y,z in modo da trovarmi gli autovettori
ho però un problema.....se non faccio la riduzion e per righe di A-5I non riesco a trovare delle soluzioni decenti (sbaglierò sicuramente i calcoli)
se riduco per righe,la matrice si semplifica notevolmente e trovo 1 autovettore corretto!1
(voi direte,come faccio a sapere se è corretto o no??' bhe sostituisco nel sistema che mi sono trovata e vedo che tutte le eq. se del sistema sono verificate....cos che non accade quando NON faccio la riduzione)
qualcuno mi aiuta????
La domananda che vi devo fare è alquanto banale...ma mi è vunuto un grosso dubbio
se ho una matrice 3x3 e devo trovare gli autovettori (dope che ho già calcolato gli autovalori)
devo ridurre per righe la matrice iniziale???
esempio:
$A=(2 .............. -1 ............... 1 )$
$ (1 ............. 2 .................. -1)$
$ (3 .............. -4 ............... 3) $
gli autovalori solo 0,2,5
quando faccio A-5I ottengo un'altra matrice che dovrei motiplicare per x,y,z in modo da trovarmi gli autovettori
ho però un problema.....se non faccio la riduzion e per righe di A-5I non riesco a trovare delle soluzioni decenti (sbaglierò sicuramente i calcoli)
se riduco per righe,la matrice si semplifica notevolmente e trovo 1 autovettore corretto!1
(voi direte,come faccio a sapere se è corretto o no??' bhe sostituisco nel sistema che mi sono trovata e vedo che tutte le eq. se del sistema sono verificate....cos che non accade quando NON faccio la riduzione)
qualcuno mi aiuta????
Risposte
Solitamente il sistema che si ottiene dopo aver moltiplicato per x,y,z è di facile risoluzione perchè ammette sempre infinite soluzioni tipicamete.
ci 6?
ci 6?
Ciao,
dovresti impostare il sistema.....ad esempio ipotiziamo che la tua matrice $A$ sia (letta per righe)
$ (a1 a2 a3) , (b1 b2 b3) , (c1 c2 c3)$ e che i tuoi autovalori siano $w1$, $w2$ e $w3$
ora chiamando gli autovettori $v1$ , $v2$ e $v3$ la proprietà delle matrici ci dice che:
$v*A=w*v$ dove $v$ e $w$ sono rispettivamente un'autovettore e un'autovalore.
ovviamente $v1=(x1,y1,z1)$ dove $x1$, $y1$ e $z1$ sono le componenti dell'autovettore.
sviluppando $v*A=w*v$, ad esempio con $w1$ per recuperare $v1$ otterrò un sistema:
$x1*a1 + y1*b1 + z1*c1 = w1*x1$
$x1*a2 + y1*b2 + z1*c2 = w1*y1$
$x1*a3 + y1*b3 + z1*c3 = w1*z1$
ora i valori di $a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3$ e $w1$ sono noti, quindi rimane un sistema di 3 equazioni in tre incognite $x1, y1, z1$ che sono le componenti dell'autovettore $v1$.
Stessa cosa si fa per recuperare $v2$ e $v3$
Spero di esserti stato d'aiuto!
dovresti impostare il sistema.....ad esempio ipotiziamo che la tua matrice $A$ sia (letta per righe)
$ (a1 a2 a3) , (b1 b2 b3) , (c1 c2 c3)$ e che i tuoi autovalori siano $w1$, $w2$ e $w3$
ora chiamando gli autovettori $v1$ , $v2$ e $v3$ la proprietà delle matrici ci dice che:
$v*A=w*v$ dove $v$ e $w$ sono rispettivamente un'autovettore e un'autovalore.
ovviamente $v1=(x1,y1,z1)$ dove $x1$, $y1$ e $z1$ sono le componenti dell'autovettore.
sviluppando $v*A=w*v$, ad esempio con $w1$ per recuperare $v1$ otterrò un sistema:
$x1*a1 + y1*b1 + z1*c1 = w1*x1$
$x1*a2 + y1*b2 + z1*c2 = w1*y1$
$x1*a3 + y1*b3 + z1*c3 = w1*z1$
ora i valori di $a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3$ e $w1$ sono noti, quindi rimane un sistema di 3 equazioni in tre incognite $x1, y1, z1$ che sono le componenti dell'autovettore $v1$.
Stessa cosa si fa per recuperare $v2$ e $v3$
Spero di esserti stato d'aiuto!
"paggisan":
Ciao
La domananda che vi devo fare è alquanto banale...ma mi è vunuto un grosso dubbio
se ho una matrice 3x3 e devo trovare gli autovettori (dope che ho già calcolato gli autovalori)
devo ridurre per righe la matrice iniziale???
La tua matrice è:
$A = ((2,-1,1),(1,2,-1),(3,-4,3))$
poiché la somma degli elementi sulle righe è costante ed è uguale a 2, questo è un autovalore
della tua matrice.
Per trovare l'autovettore relativo a 2 basta prendere il vettore $((1),(1),(1))$
Ho provato a risolvere il tuo esercizio ed ho trovato che per l'autovalore $2$, l'autovattore è $(-4a, -3a, a)$ per l'autovalore $5$ l'autovettore è $(1/(2)a, -3/(2)a, a)$ e per l'autovalore $0$ l'autovettore è $(-2a, a, a)$
Ciao
Ciao
ok ci sono
ma se comunque avessi fatto la riduzione per righe della matrice (A-5I) e solo dopo ricercato gli autovettori moltiplicando la matrice ridotta per (x,y,z), era sbagliato???
ma se comunque avessi fatto la riduzione per righe della matrice (A-5I) e solo dopo ricercato gli autovettori moltiplicando la matrice ridotta per (x,y,z), era sbagliato???
"Alexp":
Ho provato a risolvere il tuo esercizio ed ho trovato che per l'autovalore $2$, l'autovattore è $(-4a, -3a, a)$
No, l'autovettore relativo a $\lambda=2$ è $((1),(1),(1))$.
A me non risulta $(1,1,1)$ l'autovettore per l'autovalore $2$
scusa non dovrebbe essere verificata l'uguaglianza:
$(1,1,1)*A=2*(1,1,1)$, ma $(1,1,1)*A$ a me risulta $(6,-3,3)$ non mi da il vettore $(2,2,2)$, quindi l'autovettore non verifica l'uguaglianza
scusa non dovrebbe essere verificata l'uguaglianza:
$(1,1,1)*A=2*(1,1,1)$, ma $(1,1,1)*A$ a me risulta $(6,-3,3)$ non mi da il vettore $(2,2,2)$, quindi l'autovettore non verifica l'uguaglianza
"Alexp":
A me non risulta $(1,1,1)$ l'autovettore per l'autovalore $2$
scusa non dovrebbe essere verificata l'uguaglianza:
$(1,1,1)*A=2*(1,1,1)$, ma $(1,1,1)*A$ a me risulta $(6,-3,3)$ non mi da il vettore $(2,2,2)$, quindi l'autovettore non verifica l'uguaglianza
Ma te forse stai cercando gli autovettori sinistri!!
Scusa, ma dove studi?
Di solito, se non si specifica nulla, per autovettore si intende autovettore destro.
In pratica tu stai cercando gli autovettori destri della matrice $A^T$...
Si, hai ragione, non so per quale motivo, involontariamente, ho calcolato gli autovattori sinistri....sono un po' arrugginito!!
Ciao
Ciao
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