Autovettori???!!!

[Cavallo Goloso]

Buongiorno a tutti,
ho il seguente problema...
Data una matrice 3x3 riesco a calcolare i relativi autovalori, mi trovo poi privo di alcun metodo utile a ricavarmi gli autovettori corrispondenti...
ad esempio
$[(1,0,2),(-1,1,2),(1,0,0)]$
so che gli autovalori sono -1,1,2 con molteplicità 1 ciascuno, da qui in poi una volta sostituiti i lambda non conosco il procedimento per calcolare gli autovettori...
grazie in anticipo per le risposte

[Luca.Lussardi]

Basta usare la definizione di autovettore: $v \ne 0$ è un autovettore della matrice $A$ con autovalore $\lambda$ se $Av=\lambda v$.

[blulaserstar]

Io ho
$[(1-\lambda,0,2),(-1,1-\lambda,2),(1,0,0-\lambda)]$

per $\lambda=-1$ ho $[(2,0,2),(-1,2,2),(1,0,1)]$

da qui $[(2,0,2),(-1,2,2),(1,0,1)]*[u1,u2,u3]$

$u1+u3=0$ e $-u1+2u2+2u3=0$ da cui $u1=-u3$ e $u1=2u2+2u3$

ora come faccio a trovare l'autovetore??? scusa ma non l'ho capito, sono duro di capa!

[Luca.Lussardi]

Hai già finito allora; gli autovettori di autovalore $-1$ sono dati da tutti i vettori della forma $(a,3/2 a,-a)$, quindi l'autospazio relativo ha dimensione $1$ ed è generato dal vettore $(1,3/2,-1)$.

[blulaserstar]

per $\lambda=1$ ho $[(0,0,2),(-1,0,2),(1,0,-1)]$

da qui $[(0,0,2),(-1,0,2),(1,0,-1)]*[u1,u2,u3]$

$2u3=0$ , $-u1+2u3=0$ e $u1-u3=0$ da cui $u3=0$ , $u1=2u3$ e $u1=u3$

da qui avrei $(a,0,1/2 a)$ e $(a,0,a)$
devo metterli entrambi in relazione alla dimensione $1$???
quale dei due scelgo???
grazie

[Luca.Lussardi]

Viene $u_3=u_1=0$ per cui gli autovettori vengono della forma $(0,a,0)$ e quindi autospazio relativo di dimensione $1$ generato da $(0,1,0)$.

[blulaserstar]

quindi se non erro nel terzo caso, cioè per $\lambda=2$ ho $-u1+2u3=0$ due volte e $-u1-u2+2u3=0$ che mi danno $u1=2u3$ e$u2=0$, da cui $(a,0,1/2a)$ e quindi l'autospazio relativo di dimensione $1$ è generato da $(1,0,1/2)$.
giusto? grazie infinite

[Luca.Lussardi]

Esatto.

[Cavallo Goloso]

quindi se avessi la matrice $[(4,0,0),(0,2,2),(0,1,3)]$ otterrei gli autovettori $\lambda1=\lambda2=4$ e $\lambda=1$
quindi dalla prima sostituzione otterrei $u2-u3=0$ mentre dalla seconda $u1=0$ e $u2=-2u3$...
ora come devo fare??? grazie

[sigma1]

Per $lambda = 4$ hai $u2=u3$

Quindi il generico autovettore sara' del tipo $(a, b, b)$ e una base dellautospazio sara' ${(1, 0, 0), (0, 1, 1)}$

Per $lambda = 1$ il generico autovettore sara' del tipo $(0, -2b, b)$ con relativa base $(0, -2, 1)$


NB Ovviamente i $lambda$ a cui ti riferisci sono autovalori.

[blulaserstar]

Per $\lambda = 1$ il generico autovettore sara' del tipo $(0,-2b,b)$ con relativa base $(0,-2,1)$

scusa, ma se mi viene $u2+2u3=0$ come faccio a decidere quale valore associare a $b$? o è ininfluente? perchè se sostituisco $u2=b$ allora mi viene $(0,1,-1/2)$, mentre se sostituisco $u3$ mi viene come dici te $(0,-2,1)$...

[sigma1]

E' ininfluente. I due vettori da te scritti sono linermente dipendenti, cioe' le loro componenti sono in proporzione.

$-2(0, 1, -1/2) = (0, -2, 1)$

[sigma1]

Detto in altro modo: entrambi i vettori sono UNA base dell'autospazio. Puoi scegliere tra infinite basi ma la sostanza ovviamente non cambia.