Autovettori

[WaywardOne]

Buonasera! Ho questo esercizio ma non ho la più pallida idea di cosa fare per risolverlo.. non so proprio da dove cominciare:

Sia data la matrice associata all'endomorfismo $f:R^2->R^2 Mf^(BE)$ = $((0,0),(h,h))$ dove B=((7,2),(9,0)) ed E la base canonica di $R^2$. Determinare $h in R$ tale che si abbia un autovalore pari a 2. Calcolare i corrispondenti autovettori.

Grazie mille in anticipo!

[achille_lauro1]

Avendo $M(f) * B * E = ((0,0),(h,h))$
risulta $M(f) * ((7,9),(2,0))$ da aversi eguale ad $((0,0),(h,h))$.
La prima riga di $M$ sarà nulla,
la seconda sarà $((1/9 h, 1/9h))$.
Possiamo considerare, quindi, $M$ come matrice triangolare con autovalori riconoscibili sulla diagonale principale,
e porre quindi $1/9 h$ eguale a $2$ (ovvero, come richiesto, riconoscere $h = 18$).

Per quanto concerne un corrispondente autovettore:
$(0-x_1) + 0 = 0$ e
$2 + (2-x_2) = 0$
rende come autovettore $(0,4)$

[achille_lauro1]

Se, diversamente, $B = ((7,2),(9,0))$, e non $B = ((7,9),(2,0))$,

la prima riga della matrice $M(f)$, sara ancora nulla,
la seconda sarà $(1/2 h , -5/18 h)$,
con $h = -36/5$.

Ponendo:
$(((0,0),(-18/5,-5/18)) - (2 * ((1,0),(0,1))) * ((x_1),(x_2)) = ((0),(0))$

Risulta $x_1 = 0$ , $x_2 \in\R$

Relativamente alla matrice $B = ((7,9),(2,0))$, occorre porre

$(0-2) * x_1 + 0 * x_2 = 0$
$2 * x_1 + (2-2) * x_2 = 0$

con $x_1 = 0$ , $x_2 \in\R$