Autovettori
salve ragazzi vorrei rendermi conto se ho sbagliato o meno nel calcolarmi questi autovalori,dunque io ho :
\((x+y=0 ; 3x+3z=0 ; 2x-y+3z =0 \) mi uscirebbe alla fine \( (-y ; 0 -y)\)
\((y=0 ; 3x-y + 3z = 0 ; 2x-y+2z = 0\) mi esce \(( -z , 0 , 0 )\)
\((-2x+y = 0 ; 3x-3y = 0 ; 2x - y = 0\) e qui esce \((0,2x,0)\)
se è sbagliato come procedereste voi ?
P.S. sono autovettori che mi servono per una matrice da diagonalizzare .
grazie in anticipo !
\((x+y=0 ; 3x+3z=0 ; 2x-y+3z =0 \) mi uscirebbe alla fine \( (-y ; 0 -y)\)
\((y=0 ; 3x-y + 3z = 0 ; 2x-y+2z = 0\) mi esce \(( -z , 0 , 0 )\)
\((-2x+y = 0 ; 3x-3y = 0 ; 2x - y = 0\) e qui esce \((0,2x,0)\)
se è sbagliato come procedereste voi ?
P.S. sono autovettori che mi servono per una matrice da diagonalizzare .
grazie in anticipo !
Risposte
Qual è la matrice? Non riesco a capire niente scritto in questo modo 
ooooookk !!!
allora la matrice è codesta :
( 1 1 0 )
( 3 0 3 )
( 2 -1 3 )
allora la matrice è codesta :
( 1 1 0 )
( 3 0 3 )
( 2 -1 3 )
Ciao, per prima cosa la matrice è questa (le formule...)$$
A=\begin{pmatrix}1&1&0\\3&0&3\\2&-1&3\end{pmatrix}
$$ Quindi cerchiamo gli autovalori imponendo$$
\det(A-\lambda I_3) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda&1&0\\3&-\lambda&3\\2&-1&3-\lambda\end{pmatrix} = 0
$$ da cui ricaviamo $$
-\lambda^3+4\lambda^2-3\lambda = 0$$$$ \lambda = 0 \vee \lambda = 1 \vee \lambda = 3.
$$ Tutti gli autovalori sono semplici, dunque sicuramente regolari. Concludiamo che la matrice è diagonalizzabile e procediamo alla ricerca di una matrice $P$ tale che $$D = P^{-1}AP$$ con $D$ matrice diagonale.
Cerchiamo gli autovettori relativi ai vari autovalori risolvendo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice$$A-\lambda I_3$$ dove al posto di $\lambda$ andremo a sostituire uno alla volta i vari autovalori.
Autovalore $\lambda = 0$: la matrice diventa$$
\begin{pmatrix}1&1&0\\3&0&3\\2&-1&3\end{pmatrix}
$$ Applico opportune trasformazioni di riga:$$
\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-3&3\\0&-3&3\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1&1&0\\0&-3&3\\0&0&0\end{pmatrix}
$$ Tratto $z$ come un parametro e ottengo $$
\left(\begin{array}{cc|c}1&1&0\\0&-3&-3z\end{array}\right) \rightarrow \begin{cases}x = -z\\y=z\\z=z\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}-z\\z\\z\end{pmatrix} = z\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}
$$ Questo è il primo autovettore cercato.
Autovalore $\lambda = 1$: la matrice diventa$$
\begin{pmatrix}0&1&0\\3&-1&3\\2&-1&2\end{pmatrix}
$$ Con qualche passaggio si ricava$$
\begin{cases}x=-z\\y=0\\z=z\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}-z\\0\\z\end{pmatrix} = z\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}
$$Questo è il secondo autovettore.
Autovalore $\lambda = 3$: la matrice diventa$$
\begin{pmatrix}-2&1&0\\3&-3&3\\2&-1&0\end{pmatrix}
$$ Dai soliti passaggi si ricava$$
\begin{cases}x=z\\y=2z\\z=z\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}z\\2z\\z\end{pmatrix} = z\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}
$$ Questo è il terzo autovettore.
Prendiamo ora questi autovettori e li affianchiamo: otteniamo la matrice$$
P = \begin{pmatrix}-1&-1&1\\1&0&2\\1&1&1\end{pmatrix}
$$ Calcoliamo la sua inversa e otteniamo$$
P^{-1} = \begin{pmatrix}-1&1&-1\\\frac{1}{2}&-1&\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}
$$ Infine calcoliamo $$
P^{-1}AP = ... = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}
$$ che è finalmente diagonale.
A=\begin{pmatrix}1&1&0\\3&0&3\\2&-1&3\end{pmatrix}
$$ Quindi cerchiamo gli autovalori imponendo$$
\det(A-\lambda I_3) = \det\begin{pmatrix}1-\lambda&1&0\\3&-\lambda&3\\2&-1&3-\lambda\end{pmatrix} = 0
$$ da cui ricaviamo $$
-\lambda^3+4\lambda^2-3\lambda = 0$$$$ \lambda = 0 \vee \lambda = 1 \vee \lambda = 3.
$$ Tutti gli autovalori sono semplici, dunque sicuramente regolari. Concludiamo che la matrice è diagonalizzabile e procediamo alla ricerca di una matrice $P$ tale che $$D = P^{-1}AP$$ con $D$ matrice diagonale.
Cerchiamo gli autovettori relativi ai vari autovalori risolvendo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice$$A-\lambda I_3$$ dove al posto di $\lambda$ andremo a sostituire uno alla volta i vari autovalori.
Autovalore $\lambda = 0$: la matrice diventa$$
\begin{pmatrix}1&1&0\\3&0&3\\2&-1&3\end{pmatrix}
$$ Applico opportune trasformazioni di riga:$$
\begin{pmatrix}1&1&0\\0&-3&3\\0&-3&3\end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}1&1&0\\0&-3&3\\0&0&0\end{pmatrix}
$$ Tratto $z$ come un parametro e ottengo $$
\left(\begin{array}{cc|c}1&1&0\\0&-3&-3z\end{array}\right) \rightarrow \begin{cases}x = -z\\y=z\\z=z\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}-z\\z\\z\end{pmatrix} = z\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}
$$ Questo è il primo autovettore cercato.
Autovalore $\lambda = 1$: la matrice diventa$$
\begin{pmatrix}0&1&0\\3&-1&3\\2&-1&2\end{pmatrix}
$$ Con qualche passaggio si ricava$$
\begin{cases}x=-z\\y=0\\z=z\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}-z\\0\\z\end{pmatrix} = z\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}
$$Questo è il secondo autovettore.
Autovalore $\lambda = 3$: la matrice diventa$$
\begin{pmatrix}-2&1&0\\3&-3&3\\2&-1&0\end{pmatrix}
$$ Dai soliti passaggi si ricava$$
\begin{cases}x=z\\y=2z\\z=z\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}z\\2z\\z\end{pmatrix} = z\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}
$$ Questo è il terzo autovettore.
Prendiamo ora questi autovettori e li affianchiamo: otteniamo la matrice$$
P = \begin{pmatrix}-1&-1&1\\1&0&2\\1&1&1\end{pmatrix}
$$ Calcoliamo la sua inversa e otteniamo$$
P^{-1} = \begin{pmatrix}-1&1&-1\\\frac{1}{2}&-1&\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}&0&\frac{1}{2}\end{pmatrix}
$$ Infine calcoliamo $$
P^{-1}AP = ... = \begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}
$$ che è finalmente diagonale.
Grazie mille il mio problema sono proprio la ricerca degli autovettori potresti scrivermi il procedimento completo per favore ? vorrei capire dove sbaglio... :/
"minomic":
Cerchiamo gli autovettori relativi ai vari autovalori risolvendo il sistema lineare omogeneo associato alla matrice$$A-\lambda I_3$$ dove al posto di $\lambda$ andremo a sostituire uno alla volta i vari autovalori.
Cioè tu costruisci la matrice $A - \lambda I_n$ e poi immagini che questa sia la matrice associata a un sistema lineare omogeneo (termini noti tutti nulli) del quale cerchi le soluzioni. Queste soluzioni saranno per forza in forma parametrica (la soluzione non potrà mai essere unica) e questo ti permetterà di individuare gli autovettori.
siii lo so XD io dico il sistema ... non mi esce mai come dovrebbe !!! allora voglio capire i passaggi esatti da eseguire per non sbagliare... credo di aver capito il mio problema a riguardo a me i valori escono quasi uguali ai tuoi solo che io "annullo" i termini anzichè lasciarli ad esempio sul primo autovett a me esce la x = -y , -2y = 0, z=y lo stesso errore lo si trova analogo a gli altri 2... :/
Allora: prendiamo la matrice $$
A-0\cdot I_3 = \begin{pmatrix}1&1&0\\3&0&3\\2&-1&3\end{pmatrix}
$$ Questa è associata al sistema lineare omogeneo seguente $$
\begin{cases}x+y=0\\3x+3z=0 \rightarrow x+z=0\\2x-y+3z=0\end{cases}
$$Lo vogliamo risolvere trattando $y$ come un parametro? Benissimo! Prendendo gli elementi della matrice che stanno ai quattro angoli trovo un minore con rango $2$ che "coinvolge" le incognite $x, z$ quindi ottengo$$
\left(\begin{array}{cc|c}
1&0&-y\\2&3&y
\end{array}\right) \rightarrow \begin{cases}x = -y\\y = y\\ z = y\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}-y\\y\\y\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}.
$$
A-0\cdot I_3 = \begin{pmatrix}1&1&0\\3&0&3\\2&-1&3\end{pmatrix}
$$ Questa è associata al sistema lineare omogeneo seguente $$
\begin{cases}x+y=0\\3x+3z=0 \rightarrow x+z=0\\2x-y+3z=0\end{cases}
$$Lo vogliamo risolvere trattando $y$ come un parametro? Benissimo! Prendendo gli elementi della matrice che stanno ai quattro angoli trovo un minore con rango $2$ che "coinvolge" le incognite $x, z$ quindi ottengo$$
\left(\begin{array}{cc|c}
1&0&-y\\2&3&y
\end{array}\right) \rightarrow \begin{cases}x = -y\\y = y\\ z = y\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}-y\\y\\y\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}.
$$
minomic ! grazie , per la prima volta ho capito dove sbagliavo .. per forza su 50 matrici nessuna mi si diagonalizzava , in questi giorni sei stato di grande aiuto mi hai risolto un sacco di dubbi (non solo tu ,ma nella maggior parte) oggi alle 4 ho l'esame di algebra e geometria , ti farò sapere XD
Grazie prof !!! ahahaha
Grazie prof !!! ahahaha
Prego, in bocca al lupo per il tuo esame! 
Aspettiamo notizie...
Aspettiamo notizie...
crepi !!! 
un'altro dubbio ... è assodato che prendi i termini presenti agli angoli della matrice... ma con che criterio scegli le y da moltiplicare con questi termini ?
un'altro dubbio ... è assodato che prendi i termini presenti agli angoli della matrice... ma con che criterio scegli le y da moltiplicare con questi termini ?
Temo di non aver capito...
Prendo i termini agli angoli non perchè sia una regola ma perchè mi consentono di formare un minore con rango $2$. Poi le $y$ delle corrispondenti righe(forse era questo che volevi sapere) e le "passo di là cambiando segno". Questa espressione non è molto rigorosa ma credo che renda l'idea!
Prendo i termini agli angoli non perchè sia una regola ma perchè mi consentono di formare un minore con rango $2$. Poi le $y$ delle corrispondenti righe(forse era questo che volevi sapere) e le "passo di là cambiando segno". Questa espressione non è molto rigorosa ma credo che renda l'idea!
mmm... ho capito che vuoi dire per quando riguarda l'incognita...
mentre per la scelta del minore... io devo scegliere un qualsiasi minore di grado due e moltiplicarlo per le sue rispettive incognite che abbiamo scelto ovviamente cambiate di segno perchè passano dall'altro lato dell'uguale ... giusto ?
mentre per la scelta del minore... io devo scegliere un qualsiasi minore di grado due e moltiplicarlo per le sue rispettive incognite che abbiamo scelto ovviamente cambiate di segno perchè passano dall'altro lato dell'uguale ... giusto ?
"3Caos0":
io devo scegliere un qualsiasi minore di grado due e moltiplicarlo per le sue rispettive incognite
Ah adesso ho capito! No, non è una moltiplicazione! Riorganizzi la matrice portando a destra (cambiate di segno) le incognite che tratti come parametri, cioè quelle corrispondenti alle colonne che non concorrono alla formazione del minore.
o madonna XD
allora hai preso i termini degli angoli perchè ?
hai scelto la y e hai messo le rispettive y delle equazioni dei rispettivi termini che hai scelto cambiandole di segno e le hai messe affianco hai termini scelti... se non hai fatto la moltiplicazione di quei membri con le y trovate che roba hai fatto ?
allora hai preso i termini degli angoli perchè ?
hai scelto la y e hai messo le rispettive y delle equazioni dei rispettivi termini che hai scelto cambiandole di segno e le hai messe affianco hai termini scelti... se non hai fatto la moltiplicazione di quei membri con le y trovate che roba hai fatto ?
Allora per prima cosa ho voluto utilizzare $y$ come parametro perchè lo avevi fatto tu nella tua soluzione e volevo farti vedere come veniva in quel caso. Deciso questo ho guardato le altre due colonne e ho cercato un minore con rango $2$. Ho preso quello formato dai quattro elementi negli angoli perchè facevo prima a scrivere "prendo il minore formato dai quattro elementi agli angoli", ma avrei potuto considerare anche il minore$$
\begin{pmatrix}1&0\\3&3\end{pmatrix}.
$$Poi porto dall'altra parte le $y$ delle righe corrispondenti e, nel caso scelga quest'ultimo minore, mi ritrovo con$$
\left(\begin{array}{cc|c}
1&0&-y\\3&3&0
\end{array}\right).
$$A questo punto posso ridurre in forma triangolare con Gauss oppure farlo "a mente" dato che è facile...
Dalla prima riga ricavo immediatamente $$x = -y$$ mentre dalla seconda ottengo $$z = -x = y.$$ In conclusione ottengo sempre$$
\begin{cases}x = -y\\y=y\\z=y\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}-y\\y\\y\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}.
$$
\begin{pmatrix}1&0\\3&3\end{pmatrix}.
$$Poi porto dall'altra parte le $y$ delle righe corrispondenti e, nel caso scelga quest'ultimo minore, mi ritrovo con$$
\left(\begin{array}{cc|c}
1&0&-y\\3&3&0
\end{array}\right).
$$A questo punto posso ridurre in forma triangolare con Gauss oppure farlo "a mente" dato che è facile...
Dalla prima riga ricavo immediatamente $$x = -y$$ mentre dalla seconda ottengo $$z = -x = y.$$ In conclusione ottengo sempre$$
\begin{cases}x = -y\\y=y\\z=y\end{cases} \rightarrow \begin{pmatrix}-y\\y\\y\end{pmatrix} = y\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}.
$$
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