Autovettore generalizzato..maggiori info

[21zuclo]

Ciao a tutti, premetto che l'esame di Algebra Lineare l'ho già passato, però oggi studiando in Analisi 2 i sistemi di equazioni differenziali, mi vedo scritto l'autovettore generalizzato.

Quando ho fatto il corso/esame (che ho passato) di Algebra Lineare, c'erano solo esercizi da stabilire se la matrice era diagonalizzabile o no.. se non lo era..l'esercizio finiva lì..

Cioè con questo autovettore, posso diagonalizzare la matrice, pur che la matrice non è diagonalizzabile..

Sono con le idee un po' confuse.

So benissimo che una matrice $n xx n$ per essere diagonalizzabile, il numero della molteplicità algebrica deve essere uguale alla molteplicità geometrica (o se vogliamo alla dimensione dell'autospazio dell'autovalore)

ma prendendo l'esempio del libro, la matrice $ A=( ( 4 , 1 ),( -1 , 2 ) ) $

si calcola gli autovalori
$ det ( ( 4-\lambda , 1 ),( -1 , 2-\lambda ) )=\lambda^2-\lambda(4+2)+9=\lambda^2-6\lambda+9=(\lambda-3)^2 $

l'autovalore $\lambda=3$ con molteplicità algebrica 2

Calcolo l'autospazio $ V_3=ker(A-3I_3)\to ... \to V_3=Span\{((1),(-1)) \} $

quindi $ dimV_3=dim ker(A-3I_3)=1 $
Ecco qui la matrice NON è diagonalizzabile.. però il l'esempio continua calcolandosi l'autovettore generato e lo calcola in questo modo
$ (A-3I_3)((x),(y))=((1),(-1)) \to ( ( 1 , 1 ),( -1 , -1 ) )((x),(y))=((1),(-1))\to \ul(v)=Span\{((1),(0))\} $

e poi si costruisce questa matrice $ P=( ( 1 , 1 ),( -1 , 0 ) ) \to P^(-1)AP=....=( ( 3 , 1 ),( 0 , 3 ) ) $

Ora domanda
Ma che senso ha fare tutto questo?.. così ha trovato una matrice diagonalizzata..essendo però la matrice NON diagonalizzabile..

scusate ma ho le idee un po' confuse (ah i passaggi e il procedimento l'ho capito), vorrei solo capire il motivo..

l'ho incontrato perchè risolvendo un sistema di equazioni differenziali, se trovi 2 autovalori coincidenti e la dimensione dell'autospazio è 1
allora l'integrale generale del sistema omogeno è
$ ((x(t)),(y(t)))=c_1 e^(\lambdat)\ul(v_1)+c_2 e^(\lambda t)[t(\ul(v_1))+\ul(v_2)] $

ove $\lambda$ è l'autovalore di molteplicità 2, mentre $\ul(v_1)$ è l'autovettore associato all'autovalore $\lambda$

e $\ul(v_2)$ è l'autovettore generalizzato

[Emar1]

Non se so molto neanche io, però occhio, con gli autovalori generalizzati non diagonalizzi la matrice ma la riduci alla forma canonica di Jordan.

A cosa serve la riduzione in forma di Jordan? Beh, una delle cose più interessanti è la decomposizione seguente:
\[S^{-1}AS = J = D + N\]
Ovvero ogni matrice di Jordan si può scrivere come somma di una matrice diagonale e una matrice nilpotente. Questo è di grandissima utilità, ad esempio nella teoria dei sistemi differenziabili risolve il problema di calcolo di \(e^A\) per matrici qualsiasi.

[21zuclo]

della forma canonica di Jordan.. non ne so molto, perchè il nostro prof di Algebra Lineare.. ce l'aveva solamente accennata.. ma non abbiamo mai affrontato ad esercitazione questo argomento (della forma canonica di Jordan)..

mentre in Analisi 2.. abbiamo affrontato la matrice esponenziale..perchè la nostra prof a lezione (e questo me lo ricordo bene) ci ha parlato dell'esponenziale di matrice..$e^(At)$

ora i sistemi lineari di eq. differenziali.. li risolvo col metodo degli autovalori.. oggi (27/05) o nei prox giorni mi guardo la matrice esponenziale..