Autovalori=0

[Zui1]

Se una matrice ha il polinomio caratteristico P(L)= L(L-lo)*(L-l1)...ecc e quindi ammette un autovalore=0 è diagonalizzabile? Io credevo di no, ma mi è capitato un esercizio, in cui veniva chiesto di trovare un parametro, tale che un endomorfismo di cui era data la matrice avesse un autovalore nullo, e poi verificare se la matrice, con quel valore trovato del parametro fosse o meno diagonalizzabile. Posso rispondere con un secco NO? (perché una matrice con autovalore nullo non è diagonalizzabile, almeno credo)

[Seneca1]

Giustifica quello che dici. Perché secondo te non sarebbe diagonalizzabile?

[Zui1]

questa risposta mi fa pensare che mi viene chiesto di dimostrare una cosa falsa... quindi c'è qualcosa di profondo che non ho capito, beh, sero qualcuno sia cosi gentile da charirmi il tutto... allora dire che L=0 è autovalore significa che esiste un autovettore v di autovalore 0 tale che f(v)=L*v=0*v=0v quindi v è il nucleo, che non è banale, ergo la matrice non ha rango massimo, ergo non può essere simile ad una matrice diagonale....

[Gi81]

Invece sì che può. Semplicemente, la matrice diagonale a cui è simile non avrà rango massimo.
Più precisamente, ci sarà (almeno) un elemento della diagonale principale uguale a $0$

[Zui1]

quindi se un endomorfismo ha autovalore nullo che informazioni ho? solamente che non è un isomorfismo (perchè nucleo non banale ergo no iniettiva) e che non è invertibile?

[Gi81]

Esatto

[Zui1]

Perfetto, ergo la falla nel mio ragionamento era il fatto che non è vero che una matrice, per essere invertibile, debba avere rango massimo? (in effetti prendo una matrice invertibile di rango max, aggiungo righe nulle e resta invertibile ma non di rango massimo...)

[Gi81]

Stai facendo confusione. Confondi invertibilità con diagonalizzabilità. Prima di tutto, per parlare sia di matrice invertibile sia di matrice diagonalizzabile bisogna considerare una matrice quadrata.

Per definizione, una matrice quadrata $A in ccM_(n times n)$ è invertibile se esiste una matrice $B in ccM_(n times n)$ tale che $A*B= B*A= I_n$ ( con $I_n$ indico la matrice idntità di ordine $n$). Si dice che $B$ è l'inversa di $A$ e si indica con $A^-1$

Vale la seguente proprietà: una matrice quadrata è invertibile se e solo se ha rango massimo (se e solo se ha determinante non nullo, se e solo se non ha $0$ come autovalore).


Una matrice quadrata è diagonalizzabile se è simile ad una matrice diagonale.
Cioè $A in ccM_(n times n) $ è diagonalizzabile se e solo se esistono $P in ccM_(n times n)$ invertibile e $D in ccM_(n times n)$ tali che $A= P^-1 * D*P$. La matrice $D$ è diagonale, ma non necessariamente invertibile.


In sintesi, non c'è alcun legame tra invertibilità e diagonalizzabilità. Ti scrivo quattro esempi semplici semplici:

[*:1l1bxm85]la matrice $((1,0),(0,1))$ è invertibile e diagonalizzabile;[/*:m:1l1bxm85]
[*:1l1bxm85]la matrice $((1,1),(0,1))$ è invertibile ma non diagonalizzabile;[/*:m:1l1bxm85]
[*:1l1bxm85]la matrice $((0,1),(0,0))$ non è invertibile nè diagonalizzabile;[/*:m:1l1bxm85]
[*:1l1bxm85]la matrice $((0,0),(0,1))$ non è invertibile ma è diagonalizzabile.[/*:m:1l1bxm85][/list:u:1l1bxm85]